Câu 3 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :

a.  $y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3$

b.  $y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1$

c.  $y = 4\sin \sqrt x$

LG a

$y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3$

Phương pháp giải:

Sử dụng lí thuyết $- 1 \le \cos u \le 1$ với u là biểu thức của x.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $-1 ≤ \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) ≤ 1$

$\eqalign{ & \Rightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3 \le 5\cr& \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr &\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\text{ hay} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr &\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \cr&\text{ hay} \,x = - {\pi \over 3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr}$

LG b

$y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1$

Lời giải chi tiết:

ĐK: $1 - \sin \left( {{x^2}} \right) \ge 0$

Ta có:

$- 1 \le \sin {x^2} \le 1$ $\Rightarrow 1 - \left( { - 1} \right) \ge 1 - \sin {x^2} \ge 1 - 1$

$\Leftrightarrow 2 \ge 1 - \sin {x^2} \ge 0$ $\Rightarrow 0 \le 1 - \sin {x^2} \le 2$

$\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}}  \le \sqrt 2$

$\Rightarrow 0- 1 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} - 1 \le \sqrt 2 - 1$

$\Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1$

Vậy $\min y =  - 1$ khi $\sin {x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,$$\left( {k \ge 0,k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\max y = \sqrt 2  - 1$ khi $\sin {x^2} =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,$$\left( {k > 0,k \in \mathbb{Z}} \right)$

LG c

$y = 4\sin \sqrt x$

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $- 1 \le \sin \sqrt x \le 1$

$\Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4$

$⇒ -4 ≤ y ≤ 4$

Vậy $\min y =  - 4$ khi $\sin \sqrt x  =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,$ $\left( {k \in \mathbb{Z},k > 0} \right)$

$\max y = 4$ khi $\sin \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,$ $\left( {k \in \mathbb{Z},k \ge 0} \right)$