Câu 57 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho một cấp số nhân (u _n ), trong đó

$243{u_8} = 32{u_3}\,\text{ với }\,{u_3} \ne 0.$

LG a

Tính công bội của cấp số nhân đã cho.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${u_{n}} = {u_1}{q^{n-1}}$

Lời giải chi tiết:

Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu là u ₁ ,công bội q.

Ta có: u ₃ = u ₁ .q ² ≠ 0 ⇒ u ₁ ≠ 0; q ≠ 0

Theo giả thiết ta có: 243 u ₈ = 32.u ₃ nên:

243.u ₁ .q ⁷ = 32.u ₁ .q ²

243.u ₁ .q ⁷ - 32.u ₁ .q ² = 0

u ₁ .q ² . (243.q ⁵ - 32) = 0

243.q ⁵ - 32 = 0 ( vì u ₁ ≠ 0; q ≠ 0 )

$\Leftrightarrow {q^5} = \frac{{32}}{{243}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^5}$$\Leftrightarrow q = \frac{2}{5}$

Cách khác:

Ta có: ${u_8} = {u_3}{q^5}$ với q là công bội của cấp số nhân.

Thay vào đẳng thức đã cho, ta được :

$243{u_3}{q^5} = 32{u_3}$

Vì u ₃ ≠ 0 nên :  ${q^5} = {{32} \over {243}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^5}$ $\Leftrightarrow q = {2 \over 3}$

LG b

Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng ${3^5},$ tính u ₁ .

Phương pháp giải:

Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}$

Lời giải chi tiết:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là $S = {{{u_1}} \over {1 - q}}.$

Từ đó, ta có :

${3^5} = {{{u_1}} \over {1 - {2 \over 3}}}$ $\Leftrightarrow {3^5} = \frac{{{u_1}}}{{1/3}}$ $\Leftrightarrow {u_1} = {3^5}.\frac{1}{3} = {3^4} = 81$