Câu 57 trang 177 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Cho một cấp số nhân (un), trong đó
Cho một cấp số nhân (u n ), trong đó
\(243{u_8} = 32{u_3}\,\text{ với }\,{u_3} \ne 0.\)
LG a
Tính công bội của cấp số nhân đã cho.
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({u_{n}} = {u_1}{q^{n-1}}\)
Lời giải chi tiết:
Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu là u 1 ,công bội q.
Ta có: u 3 = u 1 .q 2 ≠ 0 ⇒ u 1 ≠ 0; q ≠ 0
Theo giả thiết ta có: 243 u 8 = 32.u 3 nên:
243.u 1 .q 7 = 32.u 1 .q 2
243.u 1 .q 7 - 32.u 1 .q 2 = 0
u 1 .q 2 . (243.q 5 - 32) = 0
243.q 5 - 32 = 0 ( vì u 1 ≠ 0; q ≠ 0 )
\( \Leftrightarrow {q^5} = \frac{{32}}{{243}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^5}\)\( \Leftrightarrow q = \frac{2}{5}\)
Cách khác:
Ta có: \({u_8} = {u_3}{q^5}\) với q là công bội của cấp số nhân.
Thay vào đẳng thức đã cho, ta được :
\(243{u_3}{q^5} = 32{u_3}\)
Vì u 3 ≠ 0 nên : \({q^5} = {{32} \over {243}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^5}\) \( \Leftrightarrow q = {2 \over 3}\)
LG b
Biết rằng tổng của cấp số nhân đã cho bằng \({3^5},\) tính u 1 .
Phương pháp giải:
Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)
Lời giải chi tiết:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}.\)
Từ đó, ta có :
\({3^5} = {{{u_1}} \over {1 - {2 \over 3}}}\) \(\Leftrightarrow {3^5} = \frac{{{u_1}}}{{1/3}} \) \(\Leftrightarrow {u_1} = {3^5}.\frac{1}{3} = {3^4} = 81\)