Câu 60 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Hàm số

$f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} + 8} \over {4x + 8}}\,\text{ với }\,x \ne - 2} \cr {3\,\text{ với }\,x = - 2} \cr} } \right.$

Có liên tục trên $\mathbb R$ không ?

Lời giải chi tiết

Hàm số f liên tục tại mọi điểm $x ≠ -2$ do khi $x ≠ -2$ thì hàm số là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên khoảng xác định.

Với $x ≠ -2$, ta có:

$f\left( x \right) = {{{x^3} + 8} \over {4\left( {x + 2} \right)}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \over {4\left( {x + 2} \right)}}$ $= {{{x^2} - 2x + 4} \over 4}$

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^2} - 2x + 4} \over 4} = 3$

$f\left( { - 2} \right)=3=\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)$

Vậy hàm số f liên tục tại $x = -2$, do đó f liên tục trên $\mathbb R$.