Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 1 - Chương 2 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AD lấy điểm N sao cho $AM = AN$. Từ A kẻ AH vuông góc với DM (H thuộc DM) và AH cắt BC tại P. Chứng minh rằng năm điểm C, D, N, H, P thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải chi tiết

Ta có: $AH ⊥ DM$ (gt)

nên $\widehat {MAH} = \widehat {MDA}$ (cùng phụ với $\widehat {AMD}$ )

Xét hai tam giác vuông ABP và DAM có:

$AB = AD \;(gt)$

$\widehat {MAH} = \widehat {MDA}$ (cmt)

Do đó: ∆ABP = ∆DAM (g.c.g)

$⇒ BP = AM$, mà $AM = AN\; (gt)$

$⇒ BP = AN$, mà $BC = AD (gt)$

$⇒ PC = ND$

Vậy PCDN là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo PD và CN, ta có: $OP = OC = OD = ON$, chứng tỏ bốn điểm P, C, D, N thuộc cùng một đường tròn.

Mặt khác: ∆PHD vuông tại H có OH là đường trung tuyến nên

$OH = {1 \over 2}PD$

Vậy: $OH = OP = OD = OC = ON.$

Năm điểm C, D, N, H, P thuộc cùng một đường tròn.