Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Bài 1. Rút gọn : $\displaystyle A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}$$\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)$

Bài 2. Chứng minh : $\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\,\,\left( * \right)$$\displaystyle \,\left( {x \ge 0;\,x \ge 1} \right)$

Lời giải chi tiết

Bài 1. Ta có:

$\displaystyle A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}$$\displaystyle \,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)$

$\displaystyle \eqalign{  &  = {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}  \cr  &  = {{x + \sqrt x  + 1 - x + \sqrt x  - 1 + x + 1} \over {\sqrt x }} \cr  &  = {{{x+2\sqrt x  + 1}} \over {\sqrt x }} \cr  &  = {{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} \over {\sqrt x }} \cr}$

Bài 2. Ta có:

$\displaystyle x\sqrt x  + 1 = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)$, với mọi $\displaystyle x ≥ 0$ và $\displaystyle x ≠ 1$

Nên:

$\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1$

$\displaystyle \eqalign{  &  \Leftrightarrow {{x + 2} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + 2 + x - 1 - \left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{\sqrt x } \over {x - \sqrt x  + 1}} < 1  \cr}$

$\displaystyle \begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0 \end{array}$

Ta có: $\displaystyle x\sqrt x  + 1 > 0$ và $\displaystyle \sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow x - \sqrt x  + 1 > 0$

Và $\displaystyle -{\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} < 0$  với $\displaystyle x ≥ 0$ và $\displaystyle x ≠ 1$

Nên $\displaystyle \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0$ với $\displaystyle x ≥ 0$ và $\displaystyle x ≠ 1$

Vậy $\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1$ với $\displaystyle x ≥ 0$ và $\displaystyle x ≠ 1$ (đpcm)