Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 8 - Chương 2 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) lần lượt tại B và C (khác A). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’). Trong đó, $D ∈ (O), E ∈ (O’)$. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng :

a. $\widehat {DHE} = 90^\circ$

b. HA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

Lời giải chi tiết

a. DE là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) nên $DE ⊥ OD$.

và $DE ⊥ O’E ⇒ OD // O’E.$

Do đó: $\widehat {DOO'} + \widehat {EO'O} = 180^\circ$ (cặp góc trong cùng phía)

$\Rightarrow \widehat {DOB} + \widehat {EO'C} = 180^\circ$

Các tam giác BOD và CO’E cân tại O và O’ nên:

$2\widehat B + 2\widehat C = 180^\circ$

$\Rightarrow 2\left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ  \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 90^\circ$

Trong tam giác BHC ta có $\widehat {BHC} = 90^\circ \,\,hay\,\,\widehat {DHE} = 90^\circ .$

b. Dễ thấy tứ giác HDAE là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

Gọi I là giao điểm hai đường chéo AH và DE, ta có $ID = IA$ ( tính chất hai đường chéo hình chữ nhật).

Các tam giác ODI và OAI có : OI chung, $DI = AI$ (cmt), $OD = OA (=R)$

Vậy $∆ODI = ∆OAI$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat {OAI} = \widehat {ODI} = 90^\circ$ hay $IA ⊥ BC$ tại A

$⇒ HA$ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)