Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 - Chương 4 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Kẻ dây CE qua trung điểm I của bán kính OB, kẻ đường cao AH của ∆ACE.

a)  Tính CE, AH và diện tích ∆ACE theo R.

b)  Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, I, E tiếp xúc với đường thẳng AC.

c)  Gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh: $AK.AE + BK.BD = 4R^2$

d)  Tính thể tích của hình khối sinh ra do ∆CID quay quanh CD.

Lời giải chi tiết

a) ∆COI vuông tại O (gt), ta có :

$CI = \sqrt {C{O^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}$$\;  = {{R\sqrt 5 } \over 2}$

$\Rightarrow cos\widehat {OCI} = {{OC} \over {CI}} = {R \over {{{R\sqrt 5 } \over 2}}} = {{2\sqrt 5 } \over 5}$

Lại có ∆CED vuông ( CD là đường kính) nên

$CE = CD.cos\widehat {OCI} = 2R.{{2\sqrt 5 } \over 5}$$\;= {{4R\sqrt 5 } \over 5}$

Xét hai tam giác vuông AHI và COI có $\widehat {HAI} = \widehat {OCI}$ ( cùng phụ với $\widehat {OIC}$)

Do đó ∆AHI và ∆COI đồng dạng (g.g) $\Rightarrow {{AH} \over {CO}} = {{AI} \over {CI}}$

$\Rightarrow AH = {{CO.AI} \over {CI}} = \left( {R.{{3R} \over 2}} \right):{{R\sqrt 5 } \over 2}$$\; = {{3\sqrt 5 R} \over 5}$

Vậy ${S_{ACE}} = {1 \over 2}AH.CE = {1 \over 2}.{{3\sqrt 5 R} \over 5}.{{4R\sqrt 5 } \over 5}$$\; = {{6{R^2}} \over 5}$.

b)    Ta có $AB \bot  CD$ (gt)  mà $\widehat {CBA} = \widehat {CEA}$ ( góc nội tiếp cùng chắn )

$\Rightarrow \widehat {CAB} = \widehat {CEA}$ hay $\widehat {CAI} = \widehat {IEA}$

Do đó AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm A, I, E.

c) Xét ∆AIE và ∆AKB có $\widehat {IAE}$ chung và $\widehat {AEI} = \widehat {ABD}$ ( vì ) nên ∆AIE và ∆AKB đồng dạng (g.g) $\Rightarrow {{AK} \over {AI}} = {{AB} \over {AE}}$ $\Rightarrow AK.AE = AI.AB$          (1)

Tương tự ∆BKA và ∆BID (g.g)  $\Rightarrow {{BK} \over {BI}} = {{AB} \over {DB}}$ $\Rightarrow BK.BD = AB.BI$      (2)

Cộng (1) và (2), ta có : $AK.AE + BK.BD = AB(AI + BI)$$\,=AB^2= 4R^2$.

d)  Khi tam giác CID quay quanh CD ta có thể tích hình sinh ra gồm hai hình nón bằng nhau và có chung đáy, bán kính $OI = {R \over 2}$ và chiều cao OC.

Gọi V _n là thể tích của hình nón, ta có :

${V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h = {1 \over 3}\pi .{\left( {{R \over 2}} \right)^2}R = {{\pi {R^3}} \over {12}}$

$\Rightarrow 2V = {{\pi {R^3}} \over 6}$.