Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 7 - Chương 2 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Vẽ đường tròn (O’) qua A và tiếp xúc với BC tại C.

a. Chứng minh rằng (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A.

b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : $\widehat {OIO'} = 90^\circ$ và $AI ⊥ OO’$.

c. Tính các cạnh của ∆ABC biết bán kính của hai đường tròn là R và R’.

Lời giải chi tiết

a. (O) và (O’) tiếp xúc với BC tại B và C nên $OB ⊥ BC$ và $O’C ⊥ BC$

hay ${\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat C_1} + {\widehat C_2} = 180^\circ ,$

mà ${\widehat B_2} + {\widehat C_2} = 90^\circ$ (do ∆ABC vuông tại A) $\Rightarrow {\widehat B_1} + {\widehat C_1} = 90^\circ$

∆BOA và ∆CO’A cân tại O và O’ nên.

$\eqalign{  & {\widehat B_1} = {\widehat A_1},{\widehat C_1} = {\widehat A_2}  \cr  &  \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = 90^\circ  \cr}$

Do đó ${\widehat A_1} + \widehat {BAC} + {\widehat A_2} = 180^\circ$

Vậy ba điểm O, A, O’ thẳng hàng.

Mặt khác : $OO’ = OA + AO’$

nên (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A.

b. I là trung điểm của BC (gt) nên AI là trung tuyến của ∆ABC vuông tại A $⇒ IA = IB = IC.$

Do đó $∆IAO = ∆IBO$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat {IAO} = \widehat {IBO} = 90^\circ$

⇒ AI là tiếp tuyến của (O) và (O’). Do đó IO và IO’ là phân giác của các góc kề bù AIB và AIC $\Rightarrow \widehat {OIO'} = 90^\circ$

Cách khác : Ta có: $IA = IB, OA = OB ⇒ OI$ là trung trực của AB

$⇒ OI ⊥ AB$ hay $\widehat {AHI} = 90^\circ$ (H là giao điểm của OI và AB).

Chứng minh tương tự có $\widehat {AKI} = 90^\circ$ (K là giao điểm của O’I và AC) nên AHIK là hình chữ nhật $\Rightarrow \widehat {OIO'} = 90^\circ$

c. ∆OIO’ vuông có AI là đường cao ta có:

$A{I^2} = AO.AO' \Rightarrow AI = \sqrt {R.R'}$. Do đó: $BC = 2\sqrt {R.R'}$

Gọi H là giao điểm của OI và AB. ∆OAI vuông tại A (cmt) có AH là đường cao, ta có:

${1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{O^2}}} + {1 \over {A{I^2}}}$ (định lí 4)

hay

$\eqalign{  & {1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {{R^2}}} + {1 \over {{{\left( {\sqrt {R.R'} } \right)}^2}}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over {{R^2}}} + {1 \over {R.R'}} = {{R' + R} \over {{R^2}R'}}  \cr  &  \Rightarrow AH = R\sqrt {{{R'} \over {R + R'}}} \cr& \Rightarrow AB = 2AH = 2R\sqrt {{{R'} \over {R + R'}}}  \cr}$

Tương tự $AC = 2R'\sqrt {{R \over {R + R'}}}$