Đề số 18 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Câu 1 (2 điểm):

Cho $A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}}$và $B = \sqrt x  + 1$ (với $x \ge 0;\,\,x \ne 9$)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 16$

b) Rút gọn A

c) Tìm giá trị của x để $A > B$

Câu 2 (2 điểm):

Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình $y = \left( {2k - 1} \right)x + k - 2$(với k là tham số)

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right)$ có phương trình $y =  - 3x + 5$

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng $\left( d \right)$ trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\left( d \right)$

Câu 3 (2điểm): Giải phương trình

a) $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27}$

b) $\sqrt {4x + 1}  = x - 1$

Câu 4 (3,5 điểm): Cho đường tròn $\left( {O,R} \right)$. Đường thẳng d không qua O cắt $\left( O \right)$ tại hai điểm A và B . Điểm C thuộc tia đối của tia AB . Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ ( E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB .

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi CO cắt EF tại K . Chứng minh $OK.OC = {R^2}$

c) Đoạn thẳng CO cắt $\left( O \right)$ tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều.

Câu 5 (0,5 điểm):

Cho $0 < x < 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}$

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 16$

Với $x = 16$ (tm) ta có $B = \sqrt {16}  + 1 = 4 + 1 = 5.$

Vậy với $x = 16$ thì $B = 5$

b) Rút gọn A

$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{x - 9}} + \dfrac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}} \\\;\;\;= \left[ {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x  - 3}}} \right].\left( {\sqrt x  - 3} \right)\\\;\;\; = \left[ {\dfrac{{x + \sqrt x  + 10 - \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x  - 3} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 7}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\left( {\sqrt x  - 3} \right)\\\;\;\; = \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x  + 3}}\end{array}$

c) Tìm giá trị của x để $A > B$

$\begin{array}{l}A > B \Leftrightarrow \dfrac{{x + 7}}{{\sqrt x  + 3}} > \sqrt x  + 1\\ \Leftrightarrow x + 7 > \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)\\ \Leftrightarrow x + 7 > x + 4\sqrt x  + 3\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x  < 4 \Leftrightarrow x < 1\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta được $0 \le x < 1$thì $A > B.$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right)$ có phương trình $y =  - 3x + 5$

$\left( d \right)//\left( {d'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 1 =  - 3\\k - 2 \ne 5\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\k \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow k =  - 1$

Vậy với $k =  - 1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng $\left( d \right)$ trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\left( d \right)$

Khi $k =  - 1$ thì $\left( d \right):y =  - 3x - 3$

Ta có bảng giá trị:

x	0	-1
$y =  - 3x - 3$	-3	0

Vậy đồ thị hàm số $y =  - 3x - 3$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( { - 1;\;0} \right).$

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của của $\left( d \right)$ với Ox, Oy

Cho $x = 0$ ta được $y =  - 3$$\Rightarrow B\left( {0; - 3} \right)$$\Rightarrow OB = 3$

Cho $y = 0$ ta được $x =  - 1$$\Rightarrow A\left( { - 1;0} \right)$$\Rightarrow OA = 1$

Gọi H là hình chiếu của O trên $\left( d \right)$, ta có:

$\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{{{3^2}}} = \dfrac{{10}}{9}$

$\Leftrightarrow OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$  (dvđd)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $\left( d \right)$ là $OH = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}$  (dvđd)

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {16x + 48}  = 6 + \sqrt {9x + 27}$. Điều kiện xác định: $x \ge  - 3$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + \sqrt {16\left( {x + 3} \right)}  = 6 + \sqrt {9\left( {x + 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  + 4\sqrt {x + 3}  = 6 + 3\sqrt {x + 3} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 3}  = 6\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  = 3\\ \Leftrightarrow x + 3 = 9 \Leftrightarrow x = 6\,\,\,\,\,\,(tm)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 6.$

b) $\sqrt {4x + 1}  = x - 1$. Điều kiện xác định: $x \ge  - \dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4x + 1 = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 6x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\\x = 6\,\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 6.$

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

Cho đường tròn $\left( {O,R} \right)$. Đường thẳng d không qua O cắt $\left( O \right)$ tại hai điểm A và B . Điểm C thuộc tia đối của tia AB . Vẽ CE và CF là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ ( E, F là hai tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB .

a) Chứng minh 4 điểm C, E, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Vì H là trung điểm của dây cung AB của $\left( O \right)$ nên OH vuông góc với AB , suy ra tam giác COH nội tiếp đường tròn đường kính CO (1)

Vì CE là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ nên CE vuông góc với OE , suy ra tam giác COE nội tiếp đường tròn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2) suy ra C, E, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính CO .

b) Gọi CO cắt EF tại K . Chứng minh $OK.OC = {R^2}$

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của $\left( O \right)$

$\Rightarrow CE = CF$ (tính chất) mà $OE = OF = R$ (gt)

$\Rightarrow$ CO là đường trung trực của EF

$\Rightarrow CO \bot EF$

Xét tam giác vuông CEO đường cao EK ta có:

$OK.OC = O{E^2} = {R^2}$  (đpcm)

c) Đoạn thẳng CO cắt $\left( O \right)$ tại I . Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF

Vì $OI = OF = R$  nên tam giác OIE cân tại O

$\Rightarrow \angle OIF = \angle OFI$ mà  $\angle CFI + \angle OFI = {90^o}\,;\,\,\,\angle IFK + \angle OIF = {90^o}$

$\Rightarrow \angle CFI = \angle IFK$ (tính chất bắc cầu)

$\Rightarrow$ FI là phân giác của $\angle CFE$   (3)

Vì C là giao điểm của 2 tiếp tuyến CE và CF của $\left( O \right)$

$\Rightarrow$ CI là phân giác của $\angle ECF$ (tính chất)   (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CEF (đpcm)

d) Tìm vị trí điểm C trên tia đối của tia AB để tam giác CEF đều

Tam giác CEF đều $\Rightarrow \angle ECF = {60^o}$

Mà CI là phân giác của $\angle ECF$(cmt) $\Rightarrow \angle FCO = {30^o}$

Có tam giác FCO vuông tại F có $\angle FCO = {30^o}$

$\Rightarrow OC = 2OF = 2R$

Vậy điểm C trên tia đối của tia AB sao cho $OC = 2R$ thì tam giác CEF đều.

Câu 5:

Cho $0 < x < 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x}$

Ta có: $M = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{4}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4 - 4x + 4x}}{x}$$\,= \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4$

Vì $0 < x < 1 \Rightarrow 1 - x > 0 \Rightarrow$$\dfrac{x}{{1 - x}} > 0$ và $\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm $\dfrac{x}{{1 - x}}$và $\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}$ ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{{1 - x}}.\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x}}  = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} + \dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} + 4 \ge 8 \Leftrightarrow M \ge 8\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} = \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{x}$

$\Leftrightarrow {x^2} = 4{\left( {x - 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2x - 2\\x =  - 2x + 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8 đặt được khi $x = \dfrac{2}{3}.$