Đề số 29 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán
Đề thi vào lớp 10 môn Toán - Đề số 29 có đáp án và lời giải chi tiết
Đề bài
Câu 1 (2 điểm):
a) Tính E=2√48+3√75−2√108.
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P(x)=(1x2−x+1x−1):x+1x2−2x+1.
Câu 2 (2 điểm):
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=2x2 trên hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (dm):y=(m2+m−4)x+m−7 song song với đường thẳng (d):y=2x−5.
Câu 3 (2 điểm):
a) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−2(m−1)x−2m−7=0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để biểu thức A=x21+x22+6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?
(Trong đó: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy là 10%. Khi đó nếu giá bán của mặt hàng A là x đồng thì kể cả thuế VAT, người mua phải trả tổng cộng là x+10%x đồng).
Câu 4 (0,5 điểm):
Cho biểu thức Q(x)=5x2+6x+2018x+1. Tìm các giá trị nguyên của x để Q(x) là số nguyên.
Câu 5 (1 điểm):
Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B,C(AB<AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại D,E(AD<AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O). Chứng minh DM⊥AC.
c) Chứng minh CE.CF+AD.AE=AC2.
Lời giải chi tiết
Câu 1:
a) Tính E=2√48+3√75−2√108.
E=2√48+3√75−2√108=2√42.3+3√52.3−2√62.3=2.4√3+3.5√3−2.6√3=8√3+15√3−12√3=11√3.
Vậy E=11√3.
b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P(x)=(1x2−x+1x−1):x+1x2−2x+1.
Ta có P(x) xác định ⇔{x2−x≠0x−1≠0x+1≠0x2−2x+1≠0
⇔{x(x−1)≠0x≠±1(x−1)2≠0⇔{x≠0x≠±1.
P(x)=(1x2−x+1x−1):x+1x2−2x+1=(1x(x−1)+1x−1):x+1(x−1)2=x+1x(x−1).(x−1)2x+1=x−1x.
Câu 2:
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=2x2 trên hệ trục tọa độ Oxy.
+) Vẽ đồ thị hàm số (P):
x |
−1 |
−12 |
0 |
12 |
1 |
y=2x2 |
2 |
12 |
0 |
12 |
2 |
Đồ thị (P) là parabol đi qua các điểm (−1;2),(−12;12),(0;0),(12;12),(1;2).
b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (dm):y=(m2+m−4)x+m−7 song song với đường thẳng (d):y=2x−5.
Đường thẳng (dm)//d⇔{m2+m−4=2m−7≠−5
⇔{m2+m−6=0m≠2⇔{(m−2)(m+3)=0m≠2⇔{[m−2=0m+3=0m≠2⇔{[m=2m=−3m≠2⇔m=−3.
Vậy m=−3
Câu 3:
a) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−2(m−1)x−2m−7=0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để biểu thức A=x21+x22+6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương trình có hai nghiệm x1,x2⇔Δ′≥0
⇔(m−1)2+2m+7≥0⇔m2−2m+1+2m+7≥0⇔m2+8≥0∀m.
Hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2 với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: {x1+x2=2(m−1)x1x2=−2m−7.
Theo đề bài ta có:
A=x21+x22+6x1x2=(x1+x2)2+4x1x2=4(m−1)2−4(2m+7)=4(m2−2m+1−2m−7)=4(m2−4m+4−10)=4[(m−2)2−10]=4(m−2)2−40.
Vì (m−2)2≥0 ⇒4(m−2)2≥0 ⇒4(m−2)2−40≥−40.
⇒A≥−40 hay MinA=−40
Dấu “=” xảy ra ⇔m−2=0⇔m=2.
Vậy m=2.
b) Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là x đồng, (0<x<480000).
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là y đồng, (0<y<480000).
Số tiền phải trả cho hai món hàng không mất thuế là: x+y=480000−40000=440000.(1)
Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ nhất là: x.10%=x10 (đồng)
Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ hai là: y.8%=2y25 (đồng).
Số tiền thuế phải trả cho hai món hàng là: x10+2y25=40000
⇔5x+4y=2000000(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
{x+y=4400005x+4y=2000000⇔{4x+4y=17600005x+4y=2000000⇔{x=240000(tm)y=200000(tm).
Vậy số tiền phải trả cho món hàng thứ nhất không phải thuế là 240 000 đồng, món hàng thứ hai là 200 000 đồng.
Câu 4:
Cho biểu thức Q(x)=5x2+6x+2018x+1. Tìm các giá trị nguyên của x để Q(x) là số nguyên.
Điều kiện: x≠−1.
Ta có: Q(x)=5x2+6x+2018x+1
=5x2+5x+x+1+2017x+1
=5x(x+1)x+1+x+1x+1+2017x+1
=5x+1+2017x+1.
⇒Q(x)∈Z⇔(5x+1+2017x+1)∈Z⇔2017x+1∈Z(dox∈Z)⇔(x+1)∈U(2017).
Mà U(2017)={−2017;−1;1;2017}.
⇒[x+1=−2017x+1=−1x+1=1x+1=2017⇔[x=−2018(tm)x=−2(tm)x=0(tm)x=2016(tm).
Vậy x∈{−2018;−2;0;2016}.
Câu 5:
Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B,C(AB<AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại D,E(AD<AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp.
Xét đường tròn (O) ta có: ^BEC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét tứ giác ABEF ta có: ^FAB+^BEF=900+900=1800.
⇒ABEF là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800).
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O). Chứng minh DM⊥AC.
Vì tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒^AEB=^AFB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Lại có ^AEB=^BMD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O))
⇒^AFB=^BMD. Mà hai góc này ở vị trí so le trong ⇒AF//DM.
Mà AF⊥AC⇒DM⊥AC.
c) Chứng minh CE.CF+AD.AE=AC2.
Xét tam giác ACD và tam giác ABE có
^CAE chung;
^ACD=^AEB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
⇒ΔACD∼ΔAEB(g.g)
⇒ACAE=ADAB
⇒AD.AE=AC.AB(1)
Xét tam giác CBE và tam giác CFA có:
^ACB chung;
^CEB=^CAF=900
⇒ΔCBE∼ΔCFA(g.g)⇒CECA=CBCF⇒CE.CF=CA.CB(2)
Từ (1) và (2) ⇒CE.CF+AD.AE=CA.CB+AC.AB=AC(AB+BC)=AC2(dpcm)