Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 1 — Không quảng cáo

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ta có: $5{x^2}{y^3} - 25{x^3}{y^4} + 10{x^3}{y^3}$$= 5{x^2}{y^3}. 1 - 5{x^2}{y^3}. 5xy + 5{x^2}{y^3}. 2x$$= 5{x^2}{y^3}\left( {1 - 5xy + 2x} \right)$.

Sử dụng quy tắc chuyển vế để biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn $ax + b = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{b}{a}\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Ta có: $7x + 4\; = 3x-{\rm{ }}1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7x - 3x = - 1 - 4\\ \Leftrightarrow 4x = - 5\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{5}{4}\end{array}$.

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right\}$.

Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ để rút gọn biểu thức: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.$

Khi $x \ge 3$ thì $\left| {x - 3} \right| = x - 3,$ ta có biểu thức:

$2x + \left| {x - 3} \right| - 1 = 2x + x - 3 - 1 = 3x - 4.$

+) Áp dụng lý thuyết về mối quan hệ giữa tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng và tỉ số đồng dạng của 2 tam giác, kết hợp với dữ kiện đề bài cho để thực hiện yêu cầu của bài toán.

Lưu ý: Tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi và tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Gọi k là tỉ số đồng dạng của 2 tam giác MNP và HGK.

Theo bài ta có:

$\Delta MNP \backsim \Delta HGK$ và $\dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7}$

$\Rightarrow \dfrac{{MN}}{{HG}} = \dfrac{{NP}}{{GK}} = \dfrac{{MP}}{{HK}}$$=\dfrac{MN+NP+MP}{HG+GK+HK}= \dfrac{{{P_{\Delta MNP}}}}{{{P_{\Delta HGK}}}} = \dfrac{2}{7} = k$

Do đó: $\dfrac{{HG}}{{MN}} = \dfrac{7}{2}$

Và $\dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta HGK}}}} = {k^2} = {\left( {\dfrac{2}{7}} \right)^2} = \dfrac{4}{{49}}.$

Giải các bất phương trình ở các đáp án sau đó xem $x = 2$ có thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào thì chọn đáp án đó.

Ta có:

+) Đáp án A: $2x + 5 > 11 \Leftrightarrow 2x > 6$$\Leftrightarrow x > 3 \Rightarrow x = 2$ không thuộc tập nghiệm của bất phương trình.

+) Đáp án B: $4 - x > 3x - 1 \Leftrightarrow 4 + 1 > 3x + x \Leftrightarrow 4x < 5$$\Leftrightarrow x < \dfrac{5}{4} \Rightarrow x = 2$ không thuộc tập nghiệm của bất phương trình.

+) Đáp án C: $- 4x + 7 > x - 1 \Leftrightarrow 7 + 1 > x + 4x \Leftrightarrow 5x < 8$$\Leftrightarrow x < \dfrac{8}{5} \Rightarrow x = 2$ không thuộc tập nghiệm của bất phương trình.

+) Đáp án D: ${x^2} + 3 > 6x - 7 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 10 > 0$

Thay $x = 2$ vào vế trái của bất phương trình ta có: ${2^2} - 6.2 + 10 = 2 > 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow x = 2$ là nghiệm của bất phương trình.

Sử dụng các hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\,{\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$.

Ta có: ${\left( {x + y} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x - y} \right)^2}$$= {x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}$$= 2{x^2} + 2{y^2} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$.

Sử dụng $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$ để đưa về phương trình bậc nhất một ẩn.

Xét phương trình $\left| {x - 4} \right| + 3x = 5$.

TH1: $\left| {x - 4} \right| = x - 4$ với $x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4$

Khi đó ta có phương trình: $x - 4 + 3x = 5 \Leftrightarrow 4x = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}$ (loại vì $x \ge 4$)

TH2: $\left| {x - 4} \right| =  - x + 4$ với $x - 4 < 0 \Leftrightarrow x < 4$

Khi đó ta có phương trình $- x + 4 + 3x = 5$$\Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ (nhận)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \dfrac{1}{2}.$

Phân tích vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$

Ta có: ${x^3} - 9x = 0$$\Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 9 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = - 3\end{array} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - 3;0;3} \right\}$.

Hay phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lý Talet để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó thực hiện yêu cầu của bài toán.

Áp dụng định lý Ta lét, ta có:

$\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng.

Vì $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ nên $AD.AC = AB.AE$

$\Rightarrow$ Đáp án B sai.

Ta có: $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}$

$\Rightarrow$$\dfrac{{AD}}{{AB - AD}} = \dfrac{{DE}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{DE}}{{BC - DE}}$

$\Rightarrow$ Đáp án C sai.

Ta có: $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}$

$\Rightarrow AD.BC = AB.DE$

$\Rightarrow$ Đáp án D sai.

Công thức tính diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh $a$ là: $6{a^2}.$

Diện tích toàn phần của hình lập phương có độ dài cạnh đáy bằng 5cm là: ${S_{tp}} = {6. 5^2} = 150\,c{m^2}.$

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Đổi 10 phút = $\dfrac{1}{6}$ giờ.

Gọi quãng đường AB dài là $x\left( {km} \right)\left( {x > 30{\rm{ }}} \right)$.

Suy ra quãng đường từ khi dừng lại sửa xe đến B là $x- 30{\rm{ }}\left( {km} \right)$.

Thời gian dự định đi từ A đến B là $\dfrac{x}{{30}}$(h).

Thời gian thực tế đi từ A đến B là $1 + \dfrac{1}{6} + \dfrac{{x - 30}}{{36}}$ (h).

Ta có phương trình:

$1 + \dfrac{1}{6} + \dfrac{{x - 30}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{36 + 6 + x - 30}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{12 + x}}{{36}} = \dfrac{x}{{30}}\\ \Rightarrow 30\left( {12 + x} \right) = 36.x\\ \Leftrightarrow 360 + 30x = 36x\\ \Leftrightarrow 6x = 360\\ \Leftrightarrow x = 60\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy quãng đường $AB$ dài $60$ km.

Sử dụng các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

+ Tìm ĐKXĐ

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

ĐKXĐ: $x \ne  \pm 5$

Ta có: $\dfrac{{x + 5}}{{x - 5}} - \dfrac{{x - 5}}{{x + 5}} = \dfrac{{20}}{{{x^2} - 25}}$.

$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} - {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{{20}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 5} \right)^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 - {x^2} + 10x - 25 = 20\\ \Leftrightarrow 20x = 20\\ \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ 1 \right\}$.

Biến đổi để sử dụng bất đẳng thức $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$ với $a,b > 0$.

Dấu “=” xảy ra khi $a = b.$

Đặt $x = 1 + 6a; y = 1 + 2b; z = 1 + 3c\,\,\left( {x,y,z > 0} \right)$

$\Rightarrow x + y + z = 1 + 6a + 1 + 2b + 1 + 3c$$= 3 + \left( {6a + 2b + 3c} \right) = 3 + 11 = 14$

Ta có: $2b + 3c + 16 = y - 1 + z - 1 + 16 = y + z + 14$

$6a + 3c + 16 = x + z + 14$

$6a + 2b + 16 = x + y + 14$

Từ đó: $M = \dfrac{{z + y + 14}}{x} + \dfrac{{x + z + 14}}{y} + \dfrac{{x + y + 14}}{z}$

$= \dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{14}}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{{14}}{y} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{14}}{z}$

$= \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 14\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$

$= \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$

$= 2\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 3$

Mặt khác: $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2$ dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $x = y$

$\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 2.$ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $x = z$

$\dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 2.$ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $z = y$

Khi đó: $M \ge 2. 2 + 2. 2 + 2. 2 + 3 \Rightarrow M \ge 15.$ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $x = y = z = 1$

Suy ra: $a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.$

Vậy ${M_{min}} = 15$ khi $a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.$