Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 4 — Không quảng cáo

Phương trình dạng \(ax + b = 0\) với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a \ne 0\), được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

Trong các phương trình đã cho, phương trình bậc nhất một ẩn là \(2x - 3 = 0\).

Áp dụng các tính chất:

- Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ta có:

+) \( - 2.3 =  - 6\). Mà \( - 6 =  - 6\). Vậy bất đẳng thức \( - 2.3 \ge  - 6\) là đúng.

+) Ta có: \(2 < 3\) nên \(2.\left( { - 3} \right) > 3.\left( { - 3} \right)\). Vậy bất đẳng thức \(2.( - 3) \le 3.( - 3)\) là sai.

+) Ta có: \(2 > 1\) nên \(2 + ( - 5) > ( - 5) + 1\). Vậy bất đẳng thức \(2 + ( - 5) > ( - 5) + 1\) là đúng.

+ Ta có: \( - 3 >  - 4\) nên \(2.( - 4) - 3 > 2.( - 4) - 4\). Vậy bất đẳng thức \(2.( - 4) - 3 > 2.( - 4) - 4\) là đúng.

Dựa vào cấu trúc của hình hộp chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có \(8\) đỉnh, \(6\) mặt và \(12\) cạnh.

Vậy hình hộp chữ nhật có \(12\) cạnh.

- Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình bậc nhất một ẩn.

\(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax =  - b \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\;\left( {a \ne 0} \right)\)

- Rút ra kết luận.

Ta có:

+) Đáp án A:

\(\begin{array}{l}3x + 1 =  - 3 - 3x\\ \Leftrightarrow 3x + 3x =  - 3 - 1\\ \Leftrightarrow 6x =  - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{3}\end{array}\)

+) Đáp án B:

\(\begin{array}{l}3x + 5 =  - 5 - 2x\\3x + 2x =  - 5 - 5\\ \Leftrightarrow 5x =  - 10\\ \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}\)

+) Đáp án C:

\(\begin{array}{l}2x + 3 = x - 1\\ \Leftrightarrow 2x - x =  - 1 - 3\\ \Leftrightarrow x =  - 4\end{array}\)

+) Đáp án D:

\(\begin{array}{l}x + 5 = 1 + 4x\\ \Leftrightarrow x - 4x = 1 - 5\\ \Leftrightarrow  - 3x =  - 4\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Vậy giá trị \(x =  - 2\) là nghiệm của phương trình \(3x + 5 =  - 5 - 2x\).

Phân tích biểu thức ở vế phải thành tích các đa thức.

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Ta có: \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\).

Vậy phương trình \({x^2} - 4 = 0\) tương đương với phương trình \((x - 2)(x + 2) = 0\).

Bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (hoặc \(ax + b > 0\), \(ax + b \le 0\), \(ax + b \ge 0\)) với \(a\) và \(b\) là hai số đã cho và \(a \ne 0\), được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Trong các bất phương đã cho, bất phương trình bậc nhất một ẩn là \(2x - 1 > 0\).

Tìm điều kiện để mẫu số của các phân thức khác \(0\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}} + \dfrac{{2x}}{{x - 1}} = 0\) là \(x \ne 3\) và \(x \ne 1\).

Quan sát hình vẽ và dấu hiệu hai tam giác vuông đồng dạng với nhau: Nếu tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:

\(\dfrac{{AB}}{{DE}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2};\,\,\,\,\,\,\dfrac{{AC}}{{DF}}\,\, = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) . Suy ra \(\dfrac{{AB}}{{DE}} = \,\dfrac{{AC}}{{DF}}\,\, = \dfrac{1}{2}\).

Lại có \(\widehat A=\widehat D=90^0\)

Do đó: \(\Delta ABC \backsim \Delta DEF\) (c-g-c)

Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích.

Ta có: \(3x\left( {x - 2} \right) - 4x + 8\)\( = 3x\left( {x - 2} \right) - 4\left( {x - 2} \right) = \left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải các bất phương trình đã cho.

Ta có:

+) Đáp án A:

\(\begin{array}{l}2x + 1 > 5\\ \Leftrightarrow 2x > 5 - 1\\ \Leftrightarrow 2x > 4\\ \Leftrightarrow x > 2\end{array}\)

+) Đáp án B:

\(\begin{array}{l} - 2x < 4x + 1\\ \Leftrightarrow  - 2x - 4x < 1\\ \Leftrightarrow  - 6x < 1\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - 1}}{6}\end{array}\)

+) Đáp án C:

\(\begin{array}{l}2 - x < 2 + 2x\\ \Leftrightarrow  - x - 2x < 2 - 2\\ \Leftrightarrow  - 3x < 0\\ \Leftrightarrow x > 0\end{array}\)

+) Đáp án D:

\(\begin{array}{l}7 - 2x \ge 10 - x\\ \Leftrightarrow  - 2x + x \ge 10 - 7\\ \Leftrightarrow  - x \ge 3\\ \Leftrightarrow x \le  - 3\end{array}\)

Vậy giá trị \(x =  - 3\) là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x \ge 10 - x\)

Áp dụng các tính chất:ác

- Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

+) Nếu \(a < b\) thì \(5a < 5b\) (Nhân cả hai vế của bất phương trình với \(5\)).

+) Nếu \(a < b\) thì  \( - a >  - b\) (Nhân cả hai vế của bất phương trình với \( - 1\)).

+) Nếu \(a < b\) thì \(a + a < a + b \Leftrightarrow 2a < a + b\) (Cộng cả hai vế của bất phương trình với \(a\)).

+) Nếu \(a < b\) thì \(a + b < b + b \Leftrightarrow a + b < 2b\) (Cộng cả hai vế của bất phương trình với \(b\)).

Vây trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là \(2a < a + b\).

Bước 1. Lập phương trình:

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Gọi quãng đường AB dài \(x\,\left( {km} \right),\,\left( {x > 0} \right)\).

Thời gian người đó đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{{60}}\,\left( h \right)\).

Thời gian người đó đi từ B đến A là \(\dfrac{x}{{45}}\,\,\left( h \right)\).

Đổi: 6 giờ 24 phút = 6,4h; 1 giờ 30 phút = 1,5h

Theo bài ta lập được phương trình sau:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{60}} + 1,5 + \dfrac{x}{{45}} = 6,4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{60.3}} + \dfrac{{1,5.180}}{{180}} + \dfrac{{4x}}{{45.4}} = \dfrac{{6,4.180}}{{180}}\\ \Leftrightarrow 3x + 270 + 4x = 1152\\ \Leftrightarrow 7x + 270 - 1152 = 0 \Leftrightarrow x = 126\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\).

Vậy quãng đường AB dài 126km.

Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \({k^2}.\)

Do \(\Delta DEF \backsim \Delta ABC\) nên \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\dfrac{{DE}}{{AB}}} \right)^2} = {k^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\).

Vậy \(\dfrac{{{S_{DEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{1}{4}\) .

Áp dụng tính định lý Ta-lét.

Đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại của tam giác thì định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Áp dụng tính định lý Ta-lét ta có: \(MN//BC\) nên \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{AN}}{{NC}} \Rightarrow NC = \dfrac{{MB.AN}}{{AM}} = \dfrac{{2.5}}{3} = \dfrac{{10}}{3}\).

Vậy \(NC = \dfrac{{10}}{3}\).

Áp dụng phương pháp tách hạng tử và đặt nhân tử chung.

\({x^2} - x - 6 = {x^2} - 3x + 2x - 6 = \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {2x - 6} \right) = x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình bậc nhất một ẩn.

\(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax =  - b \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\;\;\left( {a \ne 0} \right)\).

\(\begin{array}{l}3x + 2(x + 1) = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 3x + 2x + 2 = 6x - 7\\ \Leftrightarrow 2 + 7 = 6x - 3x - 2x\\ \Leftrightarrow x = 9\end{array}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = {\rm{\{ 9\} }}{\rm{.}}\)

Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình.

\(\begin{array}{l}7x + 4 \ge 5x - 8\\ \Leftrightarrow 7x - 5x \ge  - 8 - 4\\ \Leftrightarrow 2x \ge  - 12\\ \Leftrightarrow x \ge  - 6\end{array}\).

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là \(S = {\rm{\{ }}x\,{\rm{| }}x \ge  - 6{\rm{\} }}\).

Biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1;\,\,x \ne 4\)

\(\dfrac{5}{{x + 1}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{2}{{x - 4}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{5(x - 4)}}{{(x + 1)(x - 4)}} + \dfrac{{2x}}{{(x + 1)(x - 4)}} = \dfrac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)(x - 4)}}\)\( \Rightarrow 5(x - 4) + 2x = 2(x + 1)\\ \Leftrightarrow 5x - 20 + 2x = 2x + 2\)\( \Leftrightarrow 5x + 2x - 2x = 2 + 20\)\( \Leftrightarrow 5x = 22\)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{{22}}{5}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{{22}}{5}} \right\}.\)

Biến đổi biểu thức A về dạng \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}{X^2} + {\rm{ }}{Y^2} + {\rm{ }}{Z^2} + {\rm{ }}Q\) (X, Y, Z là các biểu thức chứa ẩn, Q là hằng số). Khi đó, ta luôn có \({X^2},{\rm{ }}{Y^2},{\rm{ }}{Z^2}\; \Rightarrow {A_{max}} = {\rm{ }}Q.\)

Ta có: \(2x + 2y + z = 4 \Leftrightarrow z = 4 - 2x - 2y.\)

\( \Rightarrow A = 2xy + yz + zx\)\( = 2xy + y\left( {4-2x-2y} \right) + x\left( {4-2x-2y} \right)\)\( = {\rm{ }}2xy + 4y-2xy-2{y^2} + 4x-2{x^2}-2xy\)\(= -2{x^2}-2xy + 4x-2{y^2} + 4y\)\( =  - \left[ {\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \dfrac{8}{3}\left( {x + y} \right) + \dfrac{{16}}{9}} \right] - \left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9}} \right) - \left( {{y^2} - \dfrac{4}{3}y + \dfrac{4}{9}} \right) + \dfrac{8}{3}\)\(=  - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2}+ \dfrac{8}{3}\)

Mà: \({\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0;\;{\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\;y\)

\( \Rightarrow A =  - {\left( {x + y - \dfrac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {x - \dfrac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} + \dfrac{8}{3} \le \dfrac{8}{3}\) với mọi \( x,\;y\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - \dfrac{4}{3} = 0\\x - \dfrac{2}{3} = 0\\y - \dfrac{2}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \dfrac{2}{3}.\)

Vậy A _max = \(\dfrac{8}{3}\) khi  \(\left\{ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{2}{3}\\z = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\).