Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 9 — Không quảng cáo

+ Kẻ \(HM//AB\,\,\left( {M \in BC} \right)\).

+ Chứng minh \(DG = MC\) từ hai tam giác bằng nhau từ đó tính tổng \(DG + EH\).

Kẻ \(HM//AB\,\,\left( {M \in BC} \right)\).

Xét tứ giác \(EHMB\) có \(MH//EB;EH//BM\) nên \(EHMB\) là hình bình hành.

Suy ra \(EH = BM;\,EB = HM\) (tính chất hình bình hành) mà \(AD = BE \Rightarrow AD = MH\).

Lại có: \(DG//BC \Rightarrow \widehat {ADG} = \widehat {ABC}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)

Và \(HM//AB \Rightarrow \widehat {HMC} = \widehat {ABC}\) và \(\widehat {CHM} = \widehat {CAB}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HMC} = \widehat {ADG}\left( { = \widehat {ABC}} \right)\).

Xét \(\Delta ADG\) và \(\Delta HMC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MHC} = \widehat {DAG}\left( {cmt} \right)\\AD = HM\,\left( {cmt} \right)\\\widehat {HMC} = \widehat {ADG}\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\) nên \(\Delta ADG = \Delta HMC\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow DG = MC\).

Ta có: \(DG + EH = MC + BM = BC = 6cm\).

Ta có \( - 2018a <  - 2018b\)

Nhân cả hai vế với \(- \dfrac{1}{{2018}}\) ta được

\(  - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)a >  - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)b \)

hay \( a > b\) .

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Gọi số áo tổ \(1\) làm được trong tháng Giêng là \(x\,\left( {x \in \mathbb{N}*;\,x < 800} \right)\)(áo)

Thì số áo tổ \(2\) làm được trong tháng Giêng là \(800 - x\) (áo)

Vì tháng hai, tổ \(1\) vượt mức $15\% $ nên số áo vượt mức là \(15\% .x = \dfrac{3}{{20}}x\) (áo)

Và tổ \(2\) vượt mức \(20\% \) nên số áo vượt mức là \(20\% \left( {800 - x} \right) = \dfrac{{800 - x}}{5}\) (áo)

Vì tháng hai, cả hai tổ sản xuất được $945$ cái áo nên vượt mức với tháng Giêng là \(945 - 800 = 145\) áo

Nên ta có phương trình \(\dfrac{3}{{20}}x + \dfrac{{800 - x}}{5} = 145 \Leftrightarrow 3x + 3200 - 4x = 2900 \Leftrightarrow x = 300\,\left( {TM} \right)\) .

Vậy trong tháng Giêng tổ một làm được \(300\) áo.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

Đổi: $30$  phút \( = \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( h \right).\)

Với quãng đường AB là $x$  (km), thời gian người đó đi hết quãng đường lúc đi là: \(\dfrac{x}{{30}}\,\,\,\left( h \right);\) thời gian người đó đi quãng đường AB lúc về là: \(\dfrac{x}{{24}}\,\,\left( h \right).\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{x}{{24}} - \dfrac{x}{{30}} = \dfrac{1}{2}\)

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\)  nếu$A.D = B.C$ . Từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\) .

Ta có \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}} + 6}} = \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 3}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)  (luôn đúng)

Nên hai phân thức trên bằng nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\).

Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.

Từ đó đưa về dạng tìm \(x\) đã biết \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Ta có \(3{x^2} + 13x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 10x + 10 = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 1} \right) + 10\left( {x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\3x + 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 2{x_1}{x_2} = 2.\left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{{10}}{3}} \right) = \dfrac{{20}}{3}\) .

Cho phương trình \(ax + b = 0\) \(\left( 1 \right)\) .

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\)  thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có vô số nghiệm.

\(\left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x = m - 2(*)\)

Xét \({m^2} - 3m + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - m - 2m + 2 = 0 \)\( \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right) - 2\left( {m - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0 \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m - 2 = 0\end{array} \right. \)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

+ Nếu \(m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 1\). Điều này vô lí. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

+ Nếu \(m = 2 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 0x = 0\) điều này đúng với mọi $x \in R$.

Vậy với \(m = 2\) thì phương trình có vô số nghiệm.

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Ta có  \(\dfrac{{24x{y^2}{z^2}}}{{12{x^2}z}}.\dfrac{{4{x^2}y}}{{6x{y^4}}}\)\( = \dfrac{{24x{y^2}{z^2}.4{x^2}y}}{{12{x^2}z.6x{y^4}}} = \dfrac{{96{x^3}{y^3}{z^2}}}{{72{x^3}{y^4}z}} = \dfrac{{4z}}{{3y}}\) .

Ta có năng lượng mất mát khi trong mạch có điện trở R là : \(Q = {I^2}Rt = \dfrac{{I_0^2}}{2}Rt\)

=> Sự tắt dần nhanh hay chậm phụ thuộc vào điện trở R

Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Từ đó tìm \(y.\)

\(\begin{array}{l}3{y^2} - 3y\left( {y - 2} \right) = 36\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 3y.y - 3y\left( { - 2} \right) = 36\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 3{y^2} + 6y = 36\\ \Leftrightarrow 6y = 36 \\\Leftrightarrow y = 6\end{array}\)

Từ hai tam giác bằng nhau suy ra \(O\) là trung điểm \(MN\) nên $M$ đối xứng với điểm $N$ qua $O$

Xét tam giác \(\Delta OMB\) và \(\Delta OND\) có

+ \(\widehat {MOB} = \widehat {NOD}\) (đối đỉnh)

+ \(OB = OD\) (tính chất hình bình hành)

+ \(\widehat {MBO} = \widehat {NDO}\)  (so le trong)

Nên \(\Delta OMB = \Delta OND\,\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow OM = ON\) (hai cạnh tương ứng)

Suy ra điểm $M$ đối xứng với điểm $N$ qua $O$.

- Khai triển các hằng đẳng thức - Bỏ dấu ngoặc

- Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.

$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ 4x <  - 4\\ x <  - 1\end{array}$

Vậy \(x <  - 1\) .

Chóp tam giác đều \(S.ABC\) có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(D\) là trung điểm \(BC\) .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(ABD\) vuông tại $D$ ta có

\(AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}} \)\( = \sqrt {{6^2} - {3^2}}  = 3\sqrt 3 \) nên diện tích đáy \(S = \dfrac{1}{2}AD.BC \)\( = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 3 .6 = 9\sqrt 3 \,c{m^2}\) .

Vì \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}.3\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \) .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác \(ASH\) vuông tại \(H\) ta được \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2\sqrt 6 \)

Từ đó thể tích hình chóp là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 6 .9\sqrt 3  \approx 25,46\,c{m^3}\) .

Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài nhân chiều rộng.

Gọi \(a;b\) lần lượt là chiều dài và chều rộng của hình chữ nhật ban đầu.

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là \(S=a.b\)

Nếu giảm chiều dài đi 5 lần thì chiều dài mới là \(a' = \dfrac{1}{5}a \)

Nếu tăng chiều rộng 5 lần thì chiều rộng mới là \(b' = 5b\)

Lúc này, diện tích của hình chữ nhật mới là \(S' = a'.b' = \dfrac{1}{5}a.5b = ab = S\)

Do đó diện tích hình chữ nhật không thay đổi.

+ Kẻ đường phân giác $AE$  của  \(\widehat {BAC}\)  sau đó sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính \(EC\) .

+ Chứng minh \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c-g-c) suy ra mối quan hệ giữa các góc.

Kẻ đường phân giác $AE$  của  \(\widehat {BAC}\) . Theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{9}{{16}}$ nên

$\dfrac{{BE + EC}}{{EC}} = \dfrac{{9 + 16}}{{16}}$ hay $\dfrac{{20}}{{EC}} = \dfrac{{25}}{{16}}.$

Suy ra $EC = 12,8\,cm$ .

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta ECA\) có

\(\widehat C\) là góc chung;

$\dfrac{{AC}}{{CB}} = \dfrac{{EC}}{{CA}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{12,8}}{{16}}$).

Do đó \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c.g.c) suy ra \(\widehat B = {\widehat A_2}\), tức là \(\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{2}}\).

Từ công thức tính diện tích hình thang bằng nửa tổng hai đáy nhân với đường cao, ta suy ra độ dài đường cao.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\\ \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.25,5}}{{7 + 10}} = 3(cm)\end{array}\)

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu

+ Giải phương trình vừa nhận được

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

\(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ - 7{x^2} + 4 = 5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\\ - 7{x^2} + 4 = 5x + 5 - {x^2} + x - 1\\6{x^2} + 6x = 0\\6x\left( {x + 1} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \( x + 1 = 0\),

tức là \(x = 0(tm)\) hoặc \(x =  - 1(ktm)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ 0 \right\}\)

Vế trái đặt nhân tử chung rồi đưa phương trình về dạng phương trình tích $A.B=0$ thì $A = 0$ hoặc $B =  0$

Từ đó tìm $x$.

\({x^2} + x = 0 \\ x\left( {x + 1} \right) = 0 \)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

hay \(x = 0\) hoặc \(x =  - 1\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-1;x=0$

- Biến đổi mẫu thức đã cho về dạng ${(A + B)^2} + C$

- Đánh giá biểu thức, từ đó tìm GTLN của biểu thức.

Ta có: $\dfrac{5}{{{x^2} - 6x + 10}} = \dfrac{5}{{{x^2} - 6x + 9 + 1}} = \dfrac{5}{{{{(x - 3)}^2} + 1}}$

Vì ${(x - 3)^2} \ge 0 \Rightarrow {(x - 3)^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{{{(x - 3)}^2} + 1}} \le 1 \Rightarrow \dfrac{5}{{{{(x - 3)}^2} + 1}} \le 5$

Vậy GTLN của phân thức là $5$.

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 3} \right)^2} = 0\) hay \(x = 3\).

- Tính \(ID\) theo Pytago

- Áp dụng các phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng để tìm ra cặp tam giác đồng dạng phù hợp.

- Suy ra tỉ lệ thức phù hợp, biến đổi tỉ lệ thức để tính giá trị của $x.$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông IAD ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;A{I^2} + A{D^2} = I{D^2}\;\;\\ \Leftrightarrow {4^2} + {3^2} = I{D^2}\\ \Leftrightarrow I{D^2} = 25\\ \Rightarrow ID = 5\end{array}\)

Xét 2 tam giác vuông IAD và CBI có: \(\widehat {IDA} = \widehat {CIB}\;(gt)\)

\( \Rightarrow \Delta IAD \backsim \Delta CBI\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{CB}} = \dfrac{{ID}}{{CI}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{5}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{{15.5}}{4} = 18,75\)

Vậy \(y = 18,75\).

- Từ tỉ số đoạn thẳng ta biểu diễn AB theo CD

- Thay vào điều kiện đề bài cho để tính CD, từ đó ta tính được AB

Theo bài ra, ta có: \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{5}{7}\)

\( \Rightarrow AB = \dfrac{5}{7}CD\)

Mà đoạn thẳng $AB$ ngắn hơn đoạn thẳng $CD$ là $10{\rm{ }}cm,$ suy ra: \(CD - AB = 10.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow CD - \dfrac{5}{7}CD = 10 \Leftrightarrow \dfrac{2}{7}CD = 10 \Leftrightarrow CD = \dfrac{{10.7}}{2} = 35\;cm\\ \Rightarrow AB = \dfrac{5}{7}CD = \dfrac{5}{7}.35 = 25\;cm\end{array}\)

Nhân đơn thức với đa thức

Áp dụng quy tắc chuyển vế, nhân với một số âm hoặc dương.

\(\begin{array}{l}\;x(5x + 1) + 4(x + 3) > 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5{x^2} + x + 4x + 12 > 5{x^2}\\ \Leftrightarrow 5x >  - 12\\ \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - 12}}{5}\end{array}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x >  - \dfrac{{12}}{5}.\)

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x =  - 2.\)

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

* Cách giải chung: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)

Bước1: Đánh giá: \(\left. \begin{array}{l}\left| A \right| \ge 0\\\left| B \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| \ge 0\)

Bước 2: Khẳng định: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

\({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left| {x - 3y} \right| \ge 0\\\left| {y + 4} \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} \ge 0\\ \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3.( - 4) = 0\\y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 12\\y =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là $x =  - 12$ và $y =  - 4.$

Suy ra \(y - x =  - 4 - \left( { - 12} \right) = 8.\)

Dựa vào định lí Thales và định lý Thales đảo.

Ta có: \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{NC}}{{NB}} = \frac{2}{5} \Rightarrow MN\parallel AC\)

\(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{2}{5},MA + MB = AB\)

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{AB}} = \frac{2}{7};\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{5}{7}\)

Áp dụng định lý Talet trong tam giác ABC với MN//AC ta có:

\(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{5}{7}\)

\( \Rightarrow AC = \frac{{7MN}}{5} = \frac{{7.15}}{5} = 21\left( {cm} \right)\)

Tính \(F\left( 1 \right)\) và \(F\left( { - 2} \right)\), chứng tỏ \(3F\left( 1 \right)\) và \(2F\left( { - 2} \right)\) trái dấu, từ đó suy ra mối quan hệ về dấu của \(F\left( 1 \right)\) và \(F\left( { - 2} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( 1 \right) = a + b + c \Rightarrow 3F\left( 1 \right) = 3a + 3b + 3c\\F\left( { - 2} \right) = 4a - 2b + c \Rightarrow 2F\left( { - 2} \right) = 8a - 4b + 2c\end{array}\).

Xét:

\(\begin{array}{l}3F\left( 1 \right) = 3a + 3b + 3c = 11a - 8a + 4b - b + 5c - 2c\\ = \left( {11a - b + 5c} \right) - \left( {8a - 4b + 2c} \right) = 0 - 2F\left( { - 2} \right) =  - 2F\left( { - 2} \right)\\ \Rightarrow 3F\left( 1 \right) =  - 2F\left( { - 2} \right)\end{array}\).

Suy ra: \(F\left( 1 \right)\)  và \(F\left( { - 2} \right)\) không thể cùng dấu hay \(F\left( 1 \right);F\left( { - 2} \right)\) trái dấu.

Cho đa thức đó bằng \(0\) và giải tìm nghiệm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,2{x^2} + 7x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x - 2x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x + 9} \right) - \left( {2x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 9} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 9 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 9}}{2}\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\).

Vậy có hai nghiệm là \(x =  - \dfrac{9}{2};x = 1.\)

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác, tính chất tam giác cân, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.

Vì \(AB = AC\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle B = \angle C\) (tính chất tam giác cân).

Ta có: \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc của tam giác).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle B = \angle C\\\angle A = 2\angle B\\\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\end{array} \right. \\\Rightarrow 2\angle B + 2\angle C = {180^0} \\\Rightarrow \angle B + \angle C = {180^0}:2 = {90^0}\\ \Rightarrow \angle A = {180^0} - {90^0} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân).

Sử dụng kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ; tìm điều kiện để biểu thức có giá trị nguyên.

+) Tìm ĐKXĐ của B.

+) Tách B về dạng \(B = a + \dfrac{b}{{MS}},\,\,a,\,\,b \in Z.\)

+) Đề \(B \in Z\) thì \(\dfrac{b}{{MS}} \in Z \Leftrightarrow MS \in Ư\left( b \right).\)

+) Tìm Ư(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.

+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.

ĐKXĐ: \(x \ne 2.\)

Ta có: \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}\)

\(B = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow x - 2 \in Ư(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\).