Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 10 — Không quảng cáo

- Ta nhân đa thức thương với đa thức chia rồi cộng với số dư, ta thu được đa thức bị chia cần tìm.

Đa thức bị chia cần tìm là:

\(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + x - 2 = {x^2}.x + 3{x^2} + x.x + 3x + x + 3 + x - 2 = {x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\)

Thu gọn biểu thức A bằng cách:

+) Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp để sắp xếp các hạng tử.

+) Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3 và nhóm hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

+) Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Thay giá trị x và y vào tích các đa thức vừa được thu gọn để tính giá trị của A.

\(A = {x^2} - 5x + xy - 5y = \left( {{x^2} + xy} \right) - \left( {5x + 5y} \right) = x\left( {x + y} \right) - 5\left( {x + y} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {x + y} \right)\)

Tại \(x =  - 5,\;y =  - 8\), ta có: \(A = \left( { - 5 - 5} \right)\left( { - 5 - 8} \right) = \left( { - 10} \right)\left( { - 13} \right) = 130\)

Tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang. Lại thêm có 2 đường chéo bằng nhau nên tứ giác đó là hình thang cân.

+) Với những bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ta đặt điều kiện cho mẫu số khác 0.

+) Quy đồng mẫu thức các phân thức

+) Giải bất phương trình tìm điều kiện của $x$  sau đó đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm của bất phương trình.

\(\begin{array}{l}\;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right..\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + 1}} < 0\)  mà \(4 > 0\)  nên \(x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - 1.\)

Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \(x <  - 1\).

Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.

+) Đáp án A: \(a > b \Leftrightarrow a - 3 > b - 3\)

Vậy ý A đúng chọn luôn ý A.

+) Đáp án B: \( - 3a + 4 >  - 3b + 4 \Leftrightarrow  - 3a >  - 3b \Leftrightarrow a < b\) trái với giả thiết nên B sai.

+) Đáp án C: \(2a + 3 < 2b + 3 \Leftrightarrow 2a < 2b \Leftrightarrow a < b\) trái với giả thiết nên C sai.

+) Đáp án D: \( - 5b - 1 <  - 5a - 1 \Leftrightarrow  - 5b <  - 5a \Leftrightarrow b > a\) trái với giả thiết nên D sai.

+ Thực hiện quy đồng mẫu các phân thức trong từng ngoặc

+ Thực hiện nhân chia hai phân thức sau đó phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử để rút gọn.

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right) = \left( {\dfrac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\dfrac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \dfrac{{ - (x + 1)}}{{3x + 1}}.\dfrac{{(3x + 1)(3x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}.\end{array}$

Sử dụng công thức thể tích hình chóp $V=\dfrac{1}{3}Sh$ (với $S$ là diện tích đáy; $h$ là chiều cao hình chóp) và định lý Pytago để tính cạnh bên.

Xét hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $V = 200c{m^3}$, đường cao $SH = 12cm$.

Ta có \(V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h  \) $\Rightarrow {S_d} = \dfrac{{3V}}{{SH}} = \dfrac{{3.200}}{{12}} = 50\left( {c{m^2}} \right)$

Tức là $B{C^2} = 50$

Tam giác $BHC$ vuông cân nên $H{B^2} + H{C^2} = B{C^2}$ hay $2H{C^2} = B{C^2}$ hay $2H{C^2} = 50$.

Suy ra $H{C^2} = 25$.

$S{C^2} = S{H^2} + H{C^2} = {12^2} + 25 = 169 = {13^2}.$ Vậy $SC = 13cm.$

Vậy độ dài cạnh bên là \(13\,cm\) .

+ Sử dụng công thức thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

+ Dùng hằng đẳng thức để biện luận theo yêu cầu đề bài.

Gọi $a$  và $b$  là các kích thước của đáy.

Ta có $V = 6ab$ nên $V$  lớn nhất \( \Leftrightarrow \) $ab$  lớn nhất

\({S_{xq}} = 120\) nên \(2\left( {a + b} \right).6 = 120\) hay \(a + b = 10\).

Ta có: \(ab = a\left( {10 - a} \right) =  - {a^2} + 10a =  - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25\).

Suy ra \(V = 6ab \le 6.25 = 150\).

Thể tích lớn nhất bằng \(150\) \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) khi \(a = b = 5\), tức là các cạnh đáy bằng $5$ cm.

+ Sử dụng  định lý về tam giác đồng dạng để suy ra các tam giác đồng dạng.

+ Từ các cạnh tương ứng tỉ lệ và tính chất tỉ lệ thức suy ra tỉ số chu vi hai tam giác .

+ Từ tỉ số chu vi và giả thiết để tính chu vi các tam giác $DBM$ và $EMC$.

Ta có $MD$ // $AC$ nên \(\Delta DBM\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\). Suy ra

\(\dfrac{{DB}}{{AB}} = \dfrac{{BM}}{{BC}} = \dfrac{{DM}}{{AC}} = \dfrac{{DB + BM + DM}}{{AB + BC + AC}}\)

Do đó \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{{{P_{\Delta BDM}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}}.\)

Chu vi \(\Delta DBM\) bằng \(30 \cdot \dfrac{1}{3} = 10\,\left( {cm} \right).\)

Ta có $ME$ // $AB$ nên \(\Delta EMC\)\(\backsim\)\(\Delta ABC.\) Suy ra

\(\dfrac{{EM}}{{AB}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{EM + MC + EC}}{{AB + BC + AC}},\) do đó \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{{{P_{\Delta {\rm E}{\rm M}C}}}}{{{P_{\Delta ABC}}}}.\)

Chu vi \(\Delta EMC\) bằng \(30 \cdot \dfrac{2}{3} = 20\,\left( {cm} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta DBM\) và chu vi \(\Delta EMC\) lần lượt là \(10\,cm;\,20\,cm\) .

+ Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng  nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số \(1\) .

+ Hai tam giác đều có các góc đều bằng \(60^\circ \) và các cạnh tương ứng tỉ lệ nên chúng đồng dạng.

+ Hai tam giác vuông chưa chắc đồng dạng nên D sai.

Kết hợp tính chất định lý, đã học và tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra độ dài $AD$ .

Vì $BD$ là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên:

\(\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)

Suy ra: \(\dfrac{{AD}}{{DC + AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)

(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = 15cm.$\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{15}} = \dfrac{{15}}{{15 + 10}} \)\(\Rightarrow AD = \dfrac{{15.15}}{{25}} = 9\;cm\)

Từ công thức tính diện tích hình thang suy ra cách tính đường cao.

\({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.54}}{{4 + 8}} = 9\,(cm)\)

Bước 1:  Sử dụng  tính chất hình bình hành và đường trung bình của tam giác để suy ra \(E\) đối xứng với \(F\) qua điểm \(B\) .

Bước 2: Để \(E\) đối xứng với \(F\) qua đường thẳng \(BD\)  ta cần thêm điều kiện \(EF \bot BD\) từ đó suy ra điều kiện của hình bình hành \(ABCD\) .

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\) khi đó \(OA = OC;\,OB = OD\)

Xét tam giác \(DBE\) ta có \(OA\) là đường trung bình nên \(OA{\rm{//}}EB;\,OA = \dfrac{1}{2}EB \Rightarrow AC{\rm{//}}EB;\,OA = \dfrac{1}{2}EB\)  \(\left( 1 \right)\)

Tương tự \(OC\) là đường trung bình của tam giác $BDF $ \(\Rightarrow OC{\rm{//}}BF;\,OC = \dfrac{1}{2}FB \Rightarrow AC{\rm{//}}BF;\,OC = \dfrac{1}{2}FB\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow E;\,B;F\) thẳng hàng và \(EB = BF\) (vì \(OA = OC\) ) hay \(E\) đối xứng với \(F\) qua điểm \(B\) .

Để \(E\) đối xứng với \(F\) qua đường thẳng \(BD\)  ta cần thêm điều kiện \(EF \bot BD\).

Mà \(AC\) là đường trung bình của tam giác \(DEF\) nên \(AC{\rm{//}}\,EF\) suy ra \(BD \bot AC\) .

Vậy hình bình hành $ABCD$ có thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc thì \(E\) đối xứng với \(F\) qua đường thẳng \(DB\).

Ta sử dụng định lý đường trung bình của tam giác để tính độ dài.

+ Vì \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \)\(\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,cm\) .

Vậy \(IK = 4\,cm\) .

Áp dụng quy tắc chuyển vế tìm nghiệm $x$  theo $m$  sau đó cho nghiệm $x$  theo $m$  lớn hơn $3$  rồi tính $m$ .

Ta có: \(x - 2 = 3m + 4 \) hay \( x = 3m + 6\)

Theo đề bài ta có \(x > 3 \)

hay \(3m + 6 > 3 \)

\(3m >  - 3 \)

\(m >  - 1\)

+ Chuyển vế đổi dấu

+ So sánh với $0$

+ So sánh $m$ và $n$

Ta có: \(m - \dfrac{1}{2} = n \)

\(m - n = \dfrac{1}{2} \)

\(m - n > 0 \)

\(m > n\) .

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

Gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là \(x\) (ngày, \(x > 30\)).

Tổng số áo theo kế hoạch là \(30x\) (áo)

Vì đội hoàn thành trước thời hạn $3$  ngày nên thời gian làm theo thực tế là \(x - 3\) ngày.

Vì theo thực tế đội làm thêm được \(20\) sản phẩm nên ta có phương trình

\(40\left( {x - 3} \right) = 30x + 20\) \( \Leftrightarrow 40\left( {x - 3} \right) - 20 = 30x\).

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

Đổi: $30$  phút \( = \dfrac{{30}}{{60}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( h \right).\)

Với quãng đường AB là $x$  (km), thời gian người đó đi hết quãng đường lúc đi là: \(\dfrac{x}{{30}}\,\,\,\left( h \right);\) thời gian người đó đi quãng đường AB lúc về là: \(\dfrac{x}{{24}}\,\,\left( h \right).\)

Theo đề bài ta có phương trình: \(\dfrac{x}{{24}} - \dfrac{x}{{30}} = \dfrac{1}{2}\)

Giải các phương  trình theo các bước sau

Bước 1: Sử dụng các quy tắc phá ngoặc

Bước 2: Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn  (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).

+ Ta có

\(\begin{array}{l}7\left( {x - 1} \right) = 13 + 7x\\ \Leftrightarrow 7x - 7 = 13 + 7x\\ \Leftrightarrow 7x - 7x = 13 + 7\\ \Leftrightarrow 0 = 20\,\left( {VL} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lại có:

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 2x + 2\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2x + 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - {x^2} - 2x - 2x = 4 - 4\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}\)

Điều này luôn đúng với mọi \(x \in R\).

Vậy phương trình đã cho vô số nghiệm.

Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{{A.C}}{{B.D}}\)

Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)

Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = m\) . Từ đó tìm được \(x\) .

Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.

Ta có \({x^4} - 10{x^2} + 9 = {x^4} - {x^2} - 9{x^2} + 9 = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 9\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\)

Điều kiện: \({x^4} - 10{x^2} + 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne 1\\{x^2} \ne 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 1\\x \ne  \pm 3\end{array} \right.\)

Ta có \(A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}} = 0 \Rightarrow {x^4} - 5{x^2} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 4{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x =  - 2\,\left( {TM} \right)\\x = 1\,\,\left( L \right)\\x =  - 1\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài \(x = 2;\,x =  - 2\) .

Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.

Ta có $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$\( \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {4{x^2} - 1} \right) = 10 \Leftrightarrow 4{x^2} - 24x + 36 - 4{x^2} + 1 - 10 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 24x + 27 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{8}\) .

Vậy có một giá trị $x$ thỏa mãn.

Sử dụng công thức lập phương của một hiệu \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\)

Ta có \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 \)\(= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} \)\(= {\left( {x - 2} \right)^3}\)

Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông để tính diện tích các hình vuông được tạo thành bởi các cạnh của tam giác vuông cân ABC.

Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A có \(AB = AC = a.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABCD}} = A{C^2} = {a^2}\\{S_{ABMN}} = A{B^2} = {a^2}\\{S_{BCHK}} = B{C^2} = 2{a^2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {S_{DCHK}} = {S_{ACDE}} + {S_{ABMN}}.\)

Số đường chéo của đa giác \(n\left( {n \ge 3} \right)\) cạnh là \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\).

Gọi số cạnh của đa giác là \(n\left( {n \ge 3;\,n \in \mathbb{N}} \right)\)

Số đường chéo của đa giác là \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n \Leftrightarrow {n^2} - 3n = 2n\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 5n = 0 \Leftrightarrow n\left( {n - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\left( {ktm} \right)\\n = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy đa giác thỏa mãn đề bài là ngũ giác.

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.\)

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp.

+ Rút gọn phân thức.

\(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}}\)\( = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\rm{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\rm{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}\)

Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2;3} \right\}\)

Nếu \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) thì \(|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.\)

Nếu \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\) thì \(|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.\)

Vậy \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2;x \ne 3\) và \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2;x \ne 0\).

+ Phân tích các tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

+ Thực hiện phép nhân và phép chia các phân thức.

Ta có: \({x^2} + \left( {a - b} \right)x - ab = {x^2} + ax - bx - ab\)\( = x\left( {x + a} \right) - b\left( {x + a} \right) = \left( {x - b} \right)\left( {x + a} \right)\)

\({x^2} - \left( {a - b} \right)x - ab = {x^2} - ax + bx - ab\)\( = x\left( {x - a} \right) + b\left( {x - a} \right) = \left( {x - a} \right)\left( {x + b} \right)\)

\({x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab = {x^2} - ax - bx + ab\)\( = x\left( {x - a} \right) - b\left( {x - a} \right) = \left( {x - b} \right)\left( {x - a} \right)\)

\({x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab = {x^2} + ax + bx + ab\)\( = x\left( {x + a} \right) + b\left( {x + a} \right) = \left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\)

\({x^2} - \left( {b - 1} \right)x - b = {x^2} - bx + x - b\)\( = x\left( {x - b} \right) + x - b = \left( {x - b} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\({x^2} + \left( {b + 1} \right)x + b = {x^2} + bx + x + b\)\( = x\left( {x + b} \right) + x + b = \left( {x + b} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\({x^2} - \left( {b + 1} \right)x + b = {x^2} - bx - x + b\)\( = x\left( {x - b} \right) - \left( {x - b} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - b} \right)\)

\({x^2} - \left( {1 - b} \right)x - b = {x^2} - x + bx - b\)\( = x\left( {x - 1} \right) + b\left( {x - 1} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {x - 1} \right)\)

Khi đó \(T = \left[ {\dfrac{{{x^2} + \left( {a - b} \right)x - ab}}{{{x^2} - \left( {a - b} \right)x - ab}}.\dfrac{{{x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab}}{{{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab}}} \right]:\left[ {\dfrac{{{x^2} - \left( {b - 1} \right)x - b}}{{{x^2} + \left( {b + 1} \right)x + b}}.\dfrac{{{x^2} - \left( {b + 1} \right)x + b}}{{{x^2} - \left( {1 - b} \right)x - b}}} \right]\)

\( = \left[ {\dfrac{{\left( {x - b} \right)\left( {x + a} \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x + b} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}} \right]\)\(:\left[ {\dfrac{{\left( {x - b} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {x + b} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \dfrac{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + b} \right)}^2}}} = 1\)

Vậy \(T = 1.\)

Sử dụng \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {x + 1} \right) + R\)

Thay \(x =  - 1\) vào biểu thức trên ta nhận được phần dư \(r.\)

Ta có đa thức chia \(\left( {x + 1} \right)\) nên phần dư là một hằng số

Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư \(r\). Khi đó với mọi \(x\) ta có \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right)\left( {x + 1} \right) + r\)      (1)

Thay  \(x =  - 1\) vào  (1) ta được \({\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right) + 2} \right)^5} + {\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right) - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right).\left( { - 1 + 1} \right) + r\)

\(r = {0^5} + {1^5} - 1 \Leftrightarrow r = 0\)

Vậy phần dư của phép chia là \(r = 0.\)