Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 5 — Không quảng cáo

Phân tích đa thức thành nhân tử dựa vào các biện pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,…

\(\begin{array}{l}\,\,{x^3} + x{}^2 - 4x - 4\\ = {x^2}(x + 1) - 4(x + 1)\\ = ({x^2} - 4)(x + 1)\\ = (x - 2)(x + 2)(x + 1)\end{array}\)

Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ để tìm \(x:\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\;\;khi\;\;\;x \ge 0\\ - x\;\;\;khi\;\;x < 0\end{array} \right.\)

Sau đó biến đổi phương trình, giải phương trình bậc nhất một ẩn.

\(\left| {x - 3} \right| = 1 - 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 3 = 1 - 3x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x - 3 = 3x - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x + 3x = 1 + 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x - 3x = 3 - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1\).

Vậy có 1 giá trị \(x\) thỏa mãn là \(x =  - 1.\)

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn, giải phương trình bậc nhất một ẩn.

\(ax + b = 0 \Leftrightarrow ax =  - b \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - b}}{a}\;\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow 2x = 5\, \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\).

Căn bậc hai số học của số \(a\) không âm là số \(x\) không âm sao cho \({x^2} = a.\)

Kí hiệu: \(x = \sqrt a .\)

Vì \({2^2} = 4\) và \(2 > 0\) nên \(\sqrt 4  = 2.\)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền”.

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có chiều cao \(AH.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{H^2} = HB.HC \Leftrightarrow A{H^2} = 9.25\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = 225 \Rightarrow AH = 15\)

Vậy \(AH = 15\,cm.\)

Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình.

\(5x + 1 <  - 3 \Leftrightarrow 5x <  - 3 - 1\) \( \Leftrightarrow x < \dfrac{{ - 4}}{5}\).

Tập nghiệm của bất phương trình là  \(S = \left\{ {x|x <  - \dfrac{4}{5}} \right\}\).

Sử dụng kiến thức:

+) Áp dụng công thức của các hằng đẳng thức đáng nhớ.

+) Phân tích đa thức thành nhân tử.

+) Rút gọn phân thức.

Ta có: \(\dfrac{{x - 3}}{{2x + 6}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = \dfrac{{x - 3}}{{2(x + 3)}}.\dfrac{1}{{{{(x - 3)}^2}}} = \dfrac{1}{{2(x - 3)(x + 3)}} = \dfrac{1}{{2({x^2} - 9)}}\).

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) và \(\left| x \right| = m\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x =  - m\end{array} \right.\)

Ta có: \(\sqrt {{{\rm{x}}^2}}  = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 5\end{array} \right.\)

Với \(0 < a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \)

Và với \(a,b > 0\) thì \({a^2} < {b^2} \Leftrightarrow a < b\).

Ta có: \({5^2} = 25;\,{\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = {2^2}.{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 4.6 = 24\)

Vì \(25 > 24\) nên \(5 > 2\sqrt 6 .\)

Áp dụng lý thuyết đã học và cách chứng minh tam giác đồng dạng để thực hiện yêu cầu của bài toán.

Theo bài ra ta có: \(AB = AC\) (1)

Ta lại có $BH$ và $CK$ là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC,$ suy ra $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB.$

Khi đó, ta có:

\(AK = KB = \dfrac{1}{2}AB\;(2)\)

\(AH = HC = \dfrac{1}{2}AC\;(3)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(AK = AH\)

Vì $AK = AH$ và $AB = AC$ nên: \(\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\)

Xét \(\Delta AKH\) và \(\Delta ABC\) ta có:

+) \(\dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AC}}\)

+) \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta AKH \backsim \Delta ABC\; (c - g - c)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AB}} = \dfrac{{KH}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{KH}}{8} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow KH = \dfrac{8}{2} = 4\;cm\end{array}\).

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính \(AC.\)

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có: \(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{15}}{{CD}} \Leftrightarrow CD = \dfrac{{6.15}}{{10}} = 9\;cm\)

\( \Rightarrow AC = AD + DC = 6 + 9 = 15\;cm\).

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

ĐKXĐ: \(x \ne 2;\,\,x \ne  - 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{1 - x}}{{2 - x}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{1 - x}}{{x - 2}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} + \dfrac{{(1 - x)(x + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{{2({x^2} + 2)}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\ \Rightarrow (x - 1)(x - 2) + (1 - x)(x + 2) = 2({x^2} + 2)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - x + 2 + x + 2 - {x^2} - 2x = 2{x^2} + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,(TM)\\x =  - 2\,\,\,\,\,(KTM)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 0 \right\}.\)

Sử dụng: \(\dfrac{A}{B} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A \le 0\\B > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Rồi giải từng bất phương trình bậc nhất một ẩn thu được.

\(\dfrac{{x - 2}}{{3 + 2x}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 + 2x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\3 + 2x > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\3 + 2x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\3 + 2x > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{2} < x \le 2\).

Vậy \( - \dfrac{3}{2} < x \le 2.\)

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.

Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức.

Đk: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.\)

\(A = \dfrac{{{x^2} - x}}{{2(x - 1)}} = \dfrac{{x(x - 1)}}{{2(x - 1)}} = \dfrac{x}{2} (x \ne 1)\).

Với \(x = 4\) (tmđk) ta thay \(x = 4\) vào A ta được: \(A = \dfrac{4}{2} = 2.\)

Sử dụng bổ đề: Với \(x,y\) dương là hai số bất kỳ thì: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).

Bổ đề: Với x,y dương là hai số bất kỳ thì: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\).

Chứng minh: Vì x, y dương nên \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {(x + y)^2} \ge 4xy\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y thỏa mãn yêu cầu.

Áp dụng bổ đề trên ta có: \(\dfrac{4}{{2x + y + z}} = \dfrac{4}{{\left( {x + y} \right) + \left( {x + z} \right)}} \le \dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}}\).

Cũng có: \(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}} \le \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Do đó: \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\).

Tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{{x + 2y + z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)

\(\)

\(\dfrac{1}{{x + y + 2z}} \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\).

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên kết hợp với điều kiện \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\) ta có:

\(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\)\( \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{2}{z}} \right)\)

\(P \le \dfrac{1}{{16}}\left( {\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} + \dfrac{4}{z}} \right) = \dfrac{1}{{16}}.4\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}.4 = 1\).

Hay \(\dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}} \le 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = x + z\\x + y = y + z\\x + z = y + z\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{3}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P = \dfrac{1}{{2x + y + z}} + \dfrac{1}{{2y + x + z}} + \dfrac{1}{{2z + x + y}}\) là \(1.\)