Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 3 — Không quảng cáo

Áp dụng tính chất: Khi nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ta có: \(( - 2).a < ( - 2).b\) suy ra \(a > b\) (nhân cả hai vế với \(\dfrac{{ - 1}}{2}\)).

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Từ yêu cầu đề bài suy ra: \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\)

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,(tmdk)\end{array}\)

Vậy giá trị của phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) bằng \(0\) khi \(x = 1\).

Áp dụng định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Ta có: \(EF//BC\) nên ta có các tỉ lệ thức đúng là:

\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}};\,\,\dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{AF}}{{FC}};\,\,\dfrac{{BC}}{{EF}} = \dfrac{{AC}}{{AF}};\,\,\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\)

Đáp án sai là: \(\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EB}}\)

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung và hẳng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\).

Ta có: \({x^3}y - 2{x^2}y + xy\)\( = xy\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = xy{\left( {x - 1} \right)^2}.\)

Tìm số \(a\) sao cho  \(a.a.a = 512\), khi đó \(a\) là độ dài cạnh hình lập phương đó.

Tính diện tích toàn phần ta lấy cạnh nhân với cạnh rồi nhân với \(6\).

Ta có: \(8. 8. 8 = 512\) nên độ dài hình lập phương đã cho có cạnh là \(8cm\).

Diện tích toàn phần của hình lập phương đã cho là: \(8 \times 8 \times 6 = 384\,\,(c{m^2})\).

Vậy hình lập phương có thể tích \(512c{m^3}\) thì có diện tích toàn phần là \(384c{m^2}\).

Biến đổi bất phương trình về dạng bất phương trình một ẩn và giải bất phương trình.

Ta có: \(\dfrac{{2x - 3}}{2} > \dfrac{{8x - 11}}{6} \)\(\Leftrightarrow 3(2x - 3) > 8x - 11\)

\( \Leftrightarrow 6x - 9 > 8x - 11\)

\( \Leftrightarrow 2x < 2 \Leftrightarrow x < 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left\{ {x\left| {x < 1} \right.} \right\}\).

Biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng \(\left| A \right| = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A =  - m\end{array} \right.\)

\(\left| {2x + 3} \right| - 5 = 0 \Leftrightarrow \left| {2x + 3} \right| = 5\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = 5\\2x + 3 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1; - 4} \right\}\).

Hay phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Biến đổi phân thức đã cho, từ đó tìm ra giá trị của x thỏa mãn điều kiện bài toán.

Lưu ý: \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) > 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\(\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\)

ĐKXĐ: \(x \ne  - 2\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < \dfrac{{2.\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} \\\Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} - \dfrac{{2{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{\rm{x}} + 1 - 2{\rm{x}} - 4}}{{x + 2}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 2}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x + 2 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 2 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x >  - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x <  - 2\end{array} \right.(KTM)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 2 < x < 3\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ thì \( - 2 < x < 3\) thỏa mãn.

Vậy để \(\dfrac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}} < 2\) thì \( - 2 < x < 3.\)

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

TXĐ: \(x \ne  - 1;x \ne 2\)

Ta có: \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{2 - x}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}} \)\(\Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{{3x - 11}}{{(x + 1)(x - 2)}}\)

\( \Rightarrow 2(x - 2) - (x + 1) = 3x - 11\)

\( \Leftrightarrow 2x - 4 - x - 1 = 3x - 11\)

\( \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)

Bước 1. Lập phương trình:

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Gọi vận tốc dự kiến ô tô sẽ đi là \(x\,\,(km/h);\,\left( {x > 9} \right)\).

\( \Rightarrow \) Vận tốc thực tế của ô tô là \(x - 9\,\,(km/h)\).

Theo dự kiến, ô tô đi từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên hết thời gian là:

\(8\) giờ \(24\) phút \( - \,\,\,7\) giờ \( = 1\) giờ \(24\) phút \( = 1\dfrac{2}{5}\) giờ \( = \dfrac{7}{5}\) giờ.

Thực tế ô tô đi từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên hết thời gian là:

\(8\) giờ \(45\) phút \( - \,\,\,7\) giờ \( = 1\) giờ \(45\) phút \( = 1\dfrac{3}{4}\) giờ \( = \dfrac{7}{4}\) giờ

Theo bài ra ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x.\dfrac{7}{5} = \left( {x - 9} \right).\dfrac{7}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{7x. 4}}{{20}} = \dfrac{{\left( {x - 9} \right). 7. 5}}{{20}}\\ \Leftrightarrow 28x = \left( {x - 9} \right). 35 \Leftrightarrow 28x = 35x - 315\\ \Leftrightarrow 7x = 315 \Leftrightarrow x = 45\,(tm)\end{array}\).

Vậy vận tốc đi dự kiến của ô tô là \(63\,km/h\).

Độ dài quãng đường từ trường THCS đến khu du lịch Khoang Xanh – Suối Tiên là: \(45. \dfrac{7}{5} = 63\,\,(km).\)

Bước 1. Lập phương trình:

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Gọi số ngày đội phải trồng xong số cây xanh theo kế hoạch là \(x\) (cây) (ĐK: \(x > 1;x \in \mathbb{N}\))

\(\Rightarrow \)số cây đội phải trồng theo kế hoạch là: \(300x\) (cây)

Thực tế: Số ngày hoàn thành công việc là \(x - 1\) (ngày)

Số cây trồng được là: \(400\left( {x{\rm{ }} - 1} \right)\) (cây)

Vì thực tế số cây trồng được nhiều hơn kế hoạch là \(600\) cây nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}400\left( {x - 1} \right)-300x = 600\\ \Leftrightarrow 400x - 400 - 300x = 600\\ \Leftrightarrow 100x = 1000\\ \Leftrightarrow x = 10\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy số cây tổ phải trồng theo kế hoạch là: \(10.300 = 3000\) (cây).

- Áp dụng giả thiết ba số dương \(a,\,b,\,c\) có tổng bằng \(1\) để thay thế vào tử số của các phân số ở vế phải.

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \,\left( {\forall a,b \ge 0} \right)\).

Theo giả thiết ta có: \(a + b + c = 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{{a + b + c}}{a} + \dfrac{{a + b + c}}{b} + \dfrac{{a + b + c}}{c}\\ = 1 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + 1\\ = 3 + \left( {\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}} \right) + \left( {\dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{c}} \right)\\ \ge 3 + 2.\sqrt {\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{a}{b}}  + 2.\sqrt {\dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{b}}  + 2.\sqrt {\dfrac{c}{a} \cdot \dfrac{a}{c}} \\ \ge 3 + 2.1 + 2.1 + 2.1 = 9\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{3}.\)

Vậy \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9\) hay giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(9\) khi \(a = b = c = \dfrac{1}{3}.\)

Biến đổi biểu thức đã cho thành biểu thức tính y theo x.

Vận dụng kiến thức về phép chia hết, biện luận, tính toán ra cặp (x; y) thỏa mãn.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^3} + 3x = {x^2}y + 2y + 5\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = {x^2}y + 2y\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 5 = y\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 3x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\left( {do\;\;{x^2} + 2 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x^3} + 2x + x - 5}}{{{x^2} + 2}}\\ \Leftrightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\;\;\left( * \right)\;.\end{array}\)

Để \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}} \right) \in \mathbb{Z}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)} \right]\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 25} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2 - 27} \right)\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 27\; \vdots \;\left( {{x^2} + 2} \right)\end{array}\).

Hay \(\left( {{x^2} + 2} \right) \in Ư\left( {27} \right)\)

Mà \({x^2} + 2 \ge 2\;\;\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{x^2} + 2} \right) \in \left\{ {3;\;9;\;27} \right\}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2 = 3\\{x^2} + 2 = 9\\{x^2} + 2 = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\;\;\left( {tm} \right)\\{x^2} = 7\;\;\left( {ktm} \right)\\{x^2} = 25\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\\x =  - 1\;\\x = 5\\x =  - 5\end{array} \right.\)

+) Với \(x = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = 1 + \dfrac{{1 - 5}}{{1 + 2}} =  - \dfrac{1}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\)

+) Với \(x =  - 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y =  - 1 + \dfrac{{ - 1 - 5}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2}} =  - 3\;\;\left( {tm} \right)\)

+) Với \(x = 5 \Rightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} = 5 + \dfrac{0}{{27}} = 5\;\;\left( {tm} \right)\)

+) Với \(x =  - 5 \Rightarrow y = x + \dfrac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}} =  - 5 + \dfrac{{ - 5 - 5}}{{27}} =  - \dfrac{{145}}{{27}}\;\;\left( {ktm} \right)\)

Vậy có hai cặp số nguyên \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 3} \right);\;\left( {5;\;5} \right)} \right\}\) thỏa mãn phương trình.