Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 - Đề số 6 — Không quảng cáo

Sử dụng hằng đẳng thức: \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) để biến đổi giả thiết.

Từ đẳng thức đã cho suy ra \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\)

${b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) $$= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] $$= {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)$

$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc $$= {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc $

$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc= {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc $$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)$

Do đó nếu \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0\) thì \(a + b + c = 0\) hoặc \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0\)

Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = \dfrac{1}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\) suy ra \(a = b = c\).

- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật \({S_{xq}} = 2ph\) (với p là nửa chu vi đáy) và công thức tính diện tích hình chữ nhật, định lý Pytago

Ta có \(A{\rm{D}}C'B'\) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow {S_{A{\rm{D}}C'B'}} = A{\rm{D}}.DC' = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow a.DC' = 2{{\rm{a}}^2} \Rightarrow DC' = 2{\rm{a}}\)

Xét tam giác vuông \(CC'D\) ta có:

\(CC{'^2} + C{{\rm{D}}^2} = C'{D^2} \Leftrightarrow CC{'^2} + {a^2} = {(2{\rm{a}})^2} \Leftrightarrow CC{'^2} = 4{{\rm{a}}^2} - {a^2} = 3{{\rm{a}}^2} \Rightarrow CC' = a\sqrt 3 \)

Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

Sxq \( = 2.p.CC' = 2.\dfrac{{4{\rm{a}}}}{2}.a\sqrt 3  = 4{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 \)

- Kẻ $CH \bot AD$ tại H, áp dụng định lý Pytago

- Áp dụng công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng: $V = {S_đ}.h.$

Trong mp $\left( {ABCD} \right)$ kẻ $CH$ vuông góc với $AD$ tại $H.$

Khi đó ta có $ABCH$ là hình chữ nhật. \(\left( {do\;\;\widehat A = \widehat B = \widehat H = 90^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow BC = AH = 12\;cm \)\(\Rightarrow H{\rm{D}} = A{\rm{D}} - AH = 16 - 12 = 4\;cm\)

Xét tam giác $HCD$ vuông tại $H$ ta có:

\(H{C^2} + H{{\rm{D}}^2} = C{{\rm{D}}^2} \Leftrightarrow H{C^2} = C{{\rm{D}}^2} - H{{\rm{D}}^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow HC = 3\;cm\)

Vậy thể tích của hình lăng trụ là:

$V{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABCD}}.h{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABCD}}.AA'$ \( = \dfrac{1}{2}AA'.\left( {BC + AD} \right).CH = \dfrac{1}{2}.3.(12 + 16).6 = 252\;c{m^3}\) \(\)

Sử dụng kiến thức về hình lăng trụ đứng tam giác hoặc vẽ hình rồi đếm số mặt, số đỉnh, số cạnh.

Quan sát hình vẽ ta thấy hình lăng trụ đứng tam giác có \(5\)  mặt, \(6\) đỉnh và \(9\) cạnh.

- Áp dụng phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng và biến đổi tỉ lệ thức để thực hiện yêu cầu của bài toán.

+) Xét 2 tam giác vuông $\Delta KNM$ và $\Delta MNP$ có: \(\widehat N\) chung

nên  $\Delta KNM$\( \backsim \) $\Delta MNP$ (g.g) (1)

Xét 2 tam giác vuông $\Delta KMP$ và $\Delta MNP$ có: \(\widehat P\) chung

nên $\Delta KMP$\( \backsim \) $\Delta MNP$ (g.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\Delta KNM$ \( \backsim \) $\Delta KMP$ (theo t/c bắc cầu).

Vậy $\Delta KNM$\( \backsim \) $\Delta MNP$\( \backsim \)$\Delta KMP$ nên A đúng.

+) Theo chứng minh trên:  $\Delta KNM$ \( \backsim \) $\Delta KMP.$

\( \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{PK}} = \dfrac{{NK}}{{MK}}\)

\( \Leftrightarrow M{K^2} = NK.PK\) nên B đúng.

Vậy cả A, B đều đúng.

- Tính \(ID\) theo Pytago

- Áp dụng các phương pháp chứng minh tam giác đồng dạng để tìm ra cặp tam giác đồng dạng phù hợp.

- Suy ra tỉ lệ thức phù hợp, biến đổi tỉ lệ thức để tính giá trị của $x.$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông IAD ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;A{I^2} + A{D^2} = I{D^2}\;\;\\ \Leftrightarrow {4^2} + {3^2} = I{D^2}\\ \Leftrightarrow I{D^2} = 25\\ \Rightarrow ID = 5\end{array}\)

Xét 2 tam giác vuông IAD và CBI có: \(\widehat {IDA} = \widehat {CIB}\;(gt)\)

\( \Rightarrow \Delta IAD \backsim \Delta CBI\;(g - g)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{CB}} = \dfrac{{ID}}{{CI}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{5}{y} \Leftrightarrow y = \dfrac{{15.5}}{4} = 18,75\)

Vậy \(y = 18,75\).

- Tìm ra các cặp tam giác đồng dạng phù hợp.

- Áp dụng tính chất của tam giác đồng dạng để tìm ra yêu cầu của đề bài.

Ta mô tả vị trí cây, cọc và người như hình vẽ bên.

Xét \(\Delta BFE\) và \(\Delta BNM\) ta có:

\(\widehat B\;chung\)

\(\widehat {BEF} = \widehat {BMN}\) (vì \(EF//MN\), cặp góc đồng vị bằng nhau)

\( \Rightarrow \Delta BFE \backsim \Delta BNM\;(g - g)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BN}} = \dfrac{{FE}}{{NM}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + FN}} = \dfrac{{FE}}{{NM}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + 0,64}} = \dfrac{{1,65}}{{2,45}}\\ \Leftrightarrow 1,65\left( {BF + 0,64} \right) = 2,45.BF\\ \Leftrightarrow BF = 1,32\;\;m.\end{array}\)

Xét \(\Delta BFE\) và \(\Delta BCA\) có:

\(\widehat B\;chung\)

\(\widehat {BEF} = \widehat {BAC}\) (vì $EF\parallel AC$, cặp góc đồng vị bằng nhau)

\( \Rightarrow \Delta BFE \backsim \Delta BCA\;(g - g)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{FE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{BF}}{{BF + FN + NC}} = \dfrac{{FE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{1,32}}{{1,32 + 0,64 + 1,36}} = \dfrac{{1,65}}{{CA}}\\ \Rightarrow CA = 4,15\;m\end{array}\)

Vậy cây cao đúng bằng độ dài của đoạn CA hay cây cao 4,15 m.

- Áp dụng định lý Talet, hệ quả định lý Ta-lét để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó thực hiện yêu cầu của bài toán.

Áp dụng hệ quả định lý Ta lét, ta có:

\(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+ Vì \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) nên \(AD.AC = AB.AE\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+ Ta có: \( \dfrac{{DE}}{{BC}}=\dfrac{{AD}}{{AB}} \ne \dfrac{{AD}}{{DB}}\) (hệ quả định lý Ta-lét)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

+ Ta có: \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{DE}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow AD.BC = AB.DE\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

- Áp dụng tính chất đường phân giác để tính DC.

- Từ đó tính $AC=AD+DC$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC, ta có: \(\dfrac{{BA}}{{AD}} = \dfrac{{BC}}{{CD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{15}}{{CD}} \Leftrightarrow CD = \dfrac{{6.15}}{{10}} = 9\;cm\)

\( \Rightarrow AC = AD + DC = 6 + 9 = 15\;cm\)

+ Tính tỉ số diện tích tam giác \(CMN\) và tam giác \(BCD\)

+ Tính diện tích \(\Delta BCD\) suy ra diện tích tam giác \(CMN.\)

+ Ta có \(CD = AB = 9cm;BC = AD = 8cm\)  nên \({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}BC.DC = \dfrac{1}{2}.8.9 = 36\,c{m^2}\)

+ Kẻ \(CH \bot BD\) tại \(H.\)

+ Ta có \({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}CH.BD;{S_{CMN}} = \dfrac{1}{2}CH.MN\)  mà \(MN = \dfrac{1}{3}BD \Rightarrow {S_{CMN}} = \dfrac{1}{3}{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.36 = 12\,c{m^2}\)

Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài nhân chiều rộng.

Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật \(S = a.b\) thì diện tích hình chữ nhật tỉ lệ thuận với chiều dài và chiều rộng của nó

Nếu \(a' = 4a;\,\,\,b' = \dfrac{1}{2}b;\,\) thì \(S' = a'.b' = 4a.\dfrac{1}{2}b = \dfrac{4}{2}ab = 2S\)

Do đó diện tích mới bằng \(2\) lần diện tích đã cho.

Sử dụng công tính tính số đường chéo của hình n cạnh: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)

Số đường chéo của hình \(10\)  cạnh là: \(\dfrac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} = 35\) đường.

+ Chứng minh tứ giác $AIHK$  là hình chữ nhật

+ Áp dụng các tính chất, định lý đã học và cách chứng minh đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh yêu cầu của đề bài.

+) Có I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

\( \Rightarrow \widehat {HIA} = \widehat {HKA} = {90^0}\)

Xét tứ giác AIHK có:

\(\widehat {IAK} = \widehat {HIA} = \widehat {HKA} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật. (dhnb)

+) Xét \(\Delta AIK\) và \(\Delta IAH\) ta có:

\(AI\;chung\)

\(AK = IH\)(theo tính chất của hình chữ nhật)

\(AH = IK\;\) (theo tính chất của hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \Delta AIK = \Delta IAH\;(c - c - c)\) (1)

Xét 2 tam giác vuông \(\Delta IAH\) và \(\Delta HAB\) có: \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow \Delta IAH \backsim \Delta HAB\;(g - g)\) (2)

Xét 2 tam giác vuông \(\Delta HAB\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat B\) chung

\( \Rightarrow \)\(\Delta HAB \backsim \Delta ACB\;\;\left( {g - g} \right)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\Delta AIK \backsim \Delta ACB\)

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

Giải phương trình: \(\left| {2x - 5} \right| = 1\)

$TH1:\;2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left| {2x - 5} \right| = 2x - 5 = 1 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3\;\;\left( {tm} \right)$

$TH2:\;2x - 5 < 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2} \Rightarrow \left| {2x - 5} \right| =  - 2x + 5 = 1 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 3\) và \(\;x = 2\).

+ Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài $MI,{\rm{ }}MK.$ Từ đó suy ra độ dài $IK.$

- Hình thang $ABCD$ có:

$\left. \begin{array}{l}{\rm{AM}} = {\rm{MD(gt)}}\\{\rm{BN}} = {\rm{NC (gt)}}\end{array} \right\} \Rightarrow $$MN$  là đường trung bình của hình thang $ABCD.$

\( \Rightarrow \) $MN//AB//CD$ (tính chất).

- Tam giác $ABD$ có:  $\left. \begin{array}{l}{\rm{AM }} = {\rm{ MD}}\\MI//AB\end{array} \right\} \Rightarrow $$ID = IB$  (định lý đảo về đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow \) $MI$ là đường trung bình của $\Delta ADB$ $ \Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3(cm)$

- Tương tự tam giác \(ACD\)  có: $AM = MD,{\rm{ }}MK//DC$ nên $AK = KC,$ hay ${\rm{ }}MK$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, ta có:

$MK = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}.14 = 7(cm)$

\( \Rightarrow \) $IK = MK - MI = 7 - 3 = 4\left( {cm} \right)$

Vậy \(MI = 3cm;IK = 4cm.\)

Dựa vào tính chất tổng các góc của một tứ giác bằng \({360^0}\).

Xét  tứ giác \(ABCD\)   ta có: $\hat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat C = {360^0} - \left( {\hat A + \widehat B + \widehat D} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} - \left( {{{70}^0} + {{120}^0} + {{50}^0}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} - {240^0} = {120^0}.\end{array}$

+ Dựa vào tính chất của các hình để suy ra trục đối xứng

+) Hình vuông là tứ giác có 4 trục đối xứng.

+) Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng là hai đường trung trực của các cạnh.

+) Hình bình hành không có trục đối xứng.

+) Hình thoi có 2 trục đối xứng là 2 đường chéo.

+) Với những bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ta đặt điều kiện cho mẫu số khác 0.

+) Quy đồng mẫu thức các phân thức

+) Giải bất phương trình tìm điều kiện của $x$  sau đó đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm của bất phương trình.

\(\begin{array}{l}\;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right..\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + 1}} < 0\)  mà \(4 > 0\)  nên \(x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - 1.\)

Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm \(x <  - 1\).

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

* Cách giải chung: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)

Bước1: Đánh giá: \(\left. \begin{array}{l}\left| A \right| \ge 0\\\left| B \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| \ge 0\)

Bước 2: Khẳng định: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

\({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left| {x - 3y} \right| \ge 0\\\left| {y + 4} \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} \ge 0\\ \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3.( - 4) = 0\\y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 12\\y =  - 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là $x =  - 12$ và $y =  - 4.$

Suy ra \(y - x =  - 4 - \left( { - 12} \right) = 8.\)

Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để suy ra điều kiện của tam giác \(ABC.\)

Xét $\Delta ADE$ có: $AM = DM;DQ = EQ$ nên $MQ$  là đường trung bình của $\Delta ADE$ . $ \Rightarrow MQ//AE;MQ = \dfrac{1}{2}AE$ Xét$\;\Delta AEF$  có: $AN = NF;FP = PE$  (giả thiết) nên $NP$ là đường trung bình của $\Delta AFE$. $ \Rightarrow NP//AE;NP = \dfrac{1}{2}AE$

Suy ra $MQ//NP $ ( cùng $//AE$ )  và $MQ = NP(= \dfrac{1}{2}AE)$ Tứ giác $MNPQ$ có: $MQ//NP$  và $MQ = NP$  nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để $MNPQ$ là hình chữ nhật thì $MN \bot NP$  (1) Ta có: $NP//AE$  (chứng minh trên) (2). Ta lại có: $AM = MD,AN = NF$  (giả thiết) $ \Rightarrow MN//DF$. Mặt khác: $AD = DB,AF = FC$  (giả thiết) $ \Rightarrow DF//BC$

Vậy $MN//BC$  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: $AE \bot BC$ . Mà $BE = EC$  (giả thiết) Do đó $\Delta ABC$ cân tại $A$ (do \(AE\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến).

- Rút gọn biểu thức đã cho, sau đó thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\\ \Leftrightarrow P = \left( { - 4{x^3}{y^3}} \right):2x{y^2} + {x^3}{y^4}:2x{y^2} - xy.2x + xy.xy\\ \Leftrightarrow P =  - 2{x^2}y + \dfrac{1}{2}{x^2}{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{3}{2}{x^2}{y^2} - 4{x^2}y\\ \Leftrightarrow P = {x^2}y\left( {\dfrac{3}{2}y - 4} \right)\end{array}\)

Tại \(x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}\), ta có: \(P = {1^2}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 3}}{4} - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 19}}{4}} \right) = \dfrac{{19}}{8}\)

Đặt tính theo hàng dọc rồi thực hiện phép chia để tìm thương

\(\left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\)

\(\left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 3x - 1.\)

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} - 5x + 4\\ = {x^3} - x - 4x + 4\\ = x\left( {{x^2} - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\\ = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 1} \right) - 4} \right]\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right).\end{array}\)

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

\(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4} = {\left( {4x} \right)^2} - 2.4x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)

Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Từ đó tìm \(x.\)

\(\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)(x + 3) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6\\ \Leftrightarrow x.x + 3.x + 2.x + 2.3 - x.x - 5.x + 2.x + 2.5 = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2x + 6 - {x^2} - 5x + 2x + 10 = 6\\ \Leftrightarrow 2x + 16 = 6\\ \Leftrightarrow 2x =  - 10\\ \Leftrightarrow x =  - 5\end{array}\)

Vậy \(x =  - 5.\)

- Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

-  Qui đồng các phân thức và thu gọn biểu thức

$Q = \left( {\dfrac{{{x^3} + 3x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 9x + 27}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^3} - 3{x^2} + 9x - 27}}} \right)$ (ĐK: \(x \ne  \pm 3\))

$\begin{array}{l}Q = \left( {\dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^3} + 3{x^2} + 9x + 27}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^3} - 3{x^2} + 9x - 27}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2}(x + 3) + 9(x + 3)}} + \dfrac{3}{{{x^2} + 9}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{{6x}}{{{x^2}(x - 3) + 9(x - 3)}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{x^2} + 3x + 3x + 9}}{{\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{{x^2} + 9 - 6x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 9} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{(x + 3)}^2}}}{{({x^2} + 9)(x + 3)}}.\dfrac{{(x - 3)({x^2} + 9)}}{{{{(x - 3)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + 3}}{{x - 3}}.\end{array}$

Ta biến đổi để rút gọn các phân thức rồi thực hiện phép tính nhân phân thức.

\(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.\)

Sử dụng kiến thức cộng 2 phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Ta có $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.$

Sử dụng kiến thức $\dfrac{1}{{x(x + 1)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}$; cộng 2 phân thức khác mẫu.

Ta có : $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}... + \dfrac{1}{{x + 9}} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 0 + ... + 0 - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{{2x + 20 - x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}.\end{array}$

Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải

\(\dfrac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{b - a}}\left( {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} \right),a \ne b\) . Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa  ẩn ở mẫu.

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

\(\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5}\\\dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}\)

ĐKXĐ: $x \ne \left\{ { - 1; - 3; - 5; - 7; - 9} \right\}$ .

Khi đó:

\(\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5}\\\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5}\\\dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}\\5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\\2{x^2} + 20x - 22 = 0 \\{x^2} + 10x - 11 = 0\\{x^2} - x + 11x - 11 = 0 \\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 11 = 0\),

tức là \(x = 1(tm)\) hoặc \(x =  - 11(tm)\)

Vậy  tổng  các nghiệm của phương trình là \(1 + \left( { - 11} \right) =  - 10.\)

Sử dụng quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất một ẩn rồi giải.

\(\begin{array}{l}2x\left( {x - 5} \right) + 21 = x\left( {2x + 1} \right) – 12\\  2{x^2} - 10x + 21 = 2{x^2} + x - 12\\2{x^2} - 10x - 2{x^2} - x =  - 12 - 21\\- 11x =  - 33\\ = 3\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ 3 \right\}\)   hay \({x_0} = 3 < 4.\)

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

ĐKXĐ: \(x \ne 2;x \ne 5\)

\(\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\,\\\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} - 1 = 0\\\dfrac{{x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 5} \right) - 1\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} = 0\\x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 5} \right) - 1\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\{x^2} - 2x - 3x + 15 - {x^2} + 7x - 10 = 0\\2x + 5 = 0\\2x =  - 5 \\x =  - \dfrac{5}{2}\left( {tmdk} \right).\)

Tìm nghiệm của mỗi phương trình rồi so sánh với đề bài.

Theo đề bài thì trục số biểu diễn tập nghiệm \(x < 6.\)

Ta có

+) Đáp án A: $x - 1 \ge 5 \Leftrightarrow x \ge 6$ loại vì tập nghiệm là \(x < 6.\)

+) Đáp án B: \(x + 1 \le 7 \Leftrightarrow x \le 6\) loại vì tập nghiệm là \(x < 6.\)

+) Đáp án C: \(x + 3 < 9 \Leftrightarrow x < 6\) thỏa mãn vì tập nghiệm là \(x < 6.\)

+) Đáp án D: \(x + 1 > 7 \Leftrightarrow x > 6\) loại vì tập nghiệm là \(x < 6.\)