Giải bài 1. 29 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi tổng khoảng cách từ một điểm $\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$, với $x > 3$ tới hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ là $g\left( x \right)$. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} =  - \infty$. Do đó đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 1$. Do đó đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm $M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)$ suy ra $M\left( {x;\frac{{x + 2}}{{x - 3}}} \right)$. Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $x = 3$ là ${d_1} = \left| {x - 3} \right|$, khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = 1$ là ${d_2} = \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 3}} - 1} \right| = \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}}$.

Ta có $g\left( x \right) = {d_1} + {d_2} = \left| {x - 3} \right| + \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}} = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}$, vì $x > 3$.

Ta sẽ tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $g\left( x \right) = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) =  - \infty$. Do đó đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;  $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{x - 3}} = 0$, suy ra đường thẳng $y = x - 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Vậy $g\left( x \right)$ với $x > 3$ có một tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 3$ và một tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x - 3$.