Giải bài 1. 26 trang 20 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C).

Tính tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc (C) đến hai đường tiệm cận của nó.

Lời giải chi tiết

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty$. Do đó đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số;$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1$. Do đó đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Giả sử điểm $M\left( {x;\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right) \in \left( C \right)$. Khi đó khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $x = 1$ là

${d_1} = \left| {x - 1} \right|$, khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = 1$ là ${d_2} = \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}}$.

Ta có ${d_1} \cdot {d_2} = \left| {x - 1} \right| \cdot \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = 2$. Vậy tích khoảng cách cần tìm là $2$.