Giải bài 1.31 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 6{x^2} + 9x); b) (y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4).
Đề bài
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\);
b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Tính đạo hàm, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của đồ thị, tìm các điểm cực trị, cực trị, giới hạn tại vô cực, ghi kết quả tìm được vào bảng biến thiên.
+ Vẽ đồ thị dựa vào bảng biến thiên, khi vẽ lưu ý đến tính đối xứng, tọa độ giao điểm với các trục.
+ Chú ý: đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng là điểm có hoàng độ thỏa mãn \(y'' = 0\).
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
Sự biến thiên:
+ Ta có \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\).
+ Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) với \({y_{CĐ}} = 4\), đạt cực tiểu tại \(x = 3\) với \({y_{CT}} = 0\).
+ Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = + \infty \).
+ Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;0} \right)\), cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\). Đồ thị nhận \(\left( {2;2} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
Sự biến thiên:
+ Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x + 6 > 0\) với mọi \(x\).
+ Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+ Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
+ Bảng biến thiên:
Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\), cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
