Giải bài 1. 36 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích $300$ cm ² , lề trái và lề phải là $2$ cm, lề trên và lề dưới là $3$ cm. Gọi $x$ (cm) là chiều rộng của tờ giấy.

a) Tính diện tích của tờ giấy theo $x$.

b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là $S\left( x \right)$. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = S\left( x \right)$.

c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi $y$ (cm) là chiều dài của tờ giấy.

Khi đó diện tích vùng in của tờ giấy là $\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300$ (cm ² )

Suy ra $y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}$.

a) Diện tích của tờ giấy là $S\left( x \right) = xy = x\left( {6 + \frac{{300}}{{x - 4}}} \right) = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}$

b) Tập xác định $\left( {4; + \infty } \right)$.

Sự biến thiên: $S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}$ khi đó $S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}$

+ Ta có $S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {x - 4} \right)^2} - 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 4 + 10\sqrt 2$.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 4 + 10\sqrt 2$.

+ Bảng biến thiên:

c) Để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì tờ giấy có diện tích bé nhất hay $S\left( x \right)$ nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên ta suy ra $S\left( x \right)$ nhỏ nhất tại $x = 4 + 10\sqrt 2$ suy ra $y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }}$. Vậy chiều rộng bằng $4 + 10\sqrt 2$, chiều dài bằng $6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }}$ thì nguyên liệu giấy được sử dụng ít nhất.