Giải bài 1. 38 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho điểm $A\left( {3;2} \right)$ trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua $A$ cắt trục hoành tại $B$, cắt trục tung tại $C$ tạo thành một tam giác $OBC$ nằm trong góc phần tư thứ nhất, với $O$ là gốc tọa độ.

a) Biết hoành độ điểm $B$ là $x = t$ với $t > 3$. Tính diện tích tam giác $OBC$ theo $t$. Kí hiệu diện tích này là $S\left( t \right)$.

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $S\left( t \right)$.

c) Tìm vị trí điểm $B$ để diện tích tam giác $OBC$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng đi qua $A$ và $B$ có phương trình $\frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{x - 3}}{{t - 3}}$ hay $y = 2 - \frac{2}{{t - 3}}\left( {x - 3} \right)$.

Suy ra $C$ có tung độ là ${y_C} = 2 - \frac{2}{{t - 3}}\left( {0 - 3} \right) = 2 + \frac{6}{{t - 3}}$.

Diện tích tam giác $OBC$ là $S\left( t \right) = t \cdot {y_C} = \frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}$.

b) Xét hàm số $S\left( t \right) = \frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}$.

Tập xác định: $\left( {3; + \infty } \right)$.

Sự biến thiên: $S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{2{t^2}}}{{t - 3}}} \right)^\prime } = \frac{{2{t^2} - 12t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}$.

Khi đó $S'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{t^2} - 12t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 12t = 0 \Leftrightarrow t = 6$ do $t > 3$.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {6; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {3;6} \right)$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $t = 6$ với ${S_{CT}} = 24$.

+ Giới hạn tại vô cực $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) =  + \infty$

+ Bảng biến thiên:

c) Để diện tích tam giác $OBC$ nhỏ nhất thì $S\left( t \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị nhỏ nhất của tam giác $OBC$ là $24$ khi $t = 6$ khi đó $B\left( {0;6} \right)$