Giải bài 1. 37 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Giả sử chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm của một nhà máy được cho bởi $C\left( x \right) = 0,2{x^2} + 10x + 5$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}$.

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$.

b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{0,2{x^2} + 10x + 5}}{x}$ .

Tập xác định $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Sự biến thiên: $f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{0,2{x^2} + 10x + 5}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{0,2{x^2} - 5}}{{{x^2}}}$.

Khi đó $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{0,2{x^2} - 5}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 5$ do $x \ge 1$.

+ Ta có $S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {x - 4} \right)^2} - 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 4 + 10\sqrt 2$.

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {5; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( {1;5} \right)$.

+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 5$ với ${f_{CT}} = 12$.

+ Giới hạn tại vô cực $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty$

+ Bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên suy ra số lượng sản phẩm cần sản xuất là $x = 5$ để chi phí sản xuất trung bình là thấp nhất: ${f_{CT}} = 12$.