Giải bài 13 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh rằng:
Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Dãy số (un) với un=√n2+1 bị chặn dưới.
b) Dãy số (un) với un=−n2−n bị chặn trên.
c) Dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh rằng √n2+1≥√2 với ∀n∈N∗
b) Chứng minh rằng −n2−n≤−2 với ∀n∈N∗
c) Chứng minh rằng 0<2n+1n+2<2 với ∀n∈N∗. Từ đó kết luận rằng tồn tại các số thực dương m,M với M<2 để m≤2n+1n+2≤M.
Lời giải chi tiết
a) Với ∀n∈N∗, ta có n2≥1⇒n2+1≥2⇒√n2+1≥√2.
Do đó, dãy số (un) với un=√n2+1 bị chặn dưới.
b) Với ∀n∈N∗, ta có n(n+1)≥1.2=2⇒n2+n≥2⇒−n2−n≤−2
Do đó, dãy số (un) với un=−n2−n bị chặn trên.
c) Ta nhận thấy với ∀n∈N∗ thì 2n+1n+2>0. Do đó, dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn dưới.
Mặt khác, xét un−2=2n+1n+2−2=2n+1−2(n+2)n+2=−3n+2<0⇒un<2.
Suy ra dãy số (un) với un=2n+1n+2 bị chặn trên.
Dãy số (un) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, cho nên dãy số (un) bị chặn.
Bài toán được chứng minh.