Giải bài 14 trang 100 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh: a) MA.MB = MC.MD. b) Tứ giác ABEC là hình thang cân. c) Tổng MA2 + MB2 + MC2 + MD2 có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).
Đề bài
Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh:
a) MA.MB = MC.MD.
b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.
c) Tổng MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Chứng minh ABEC là hình thang. Sau đó chứng minh \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}\) để ABEC là hình thang cân.
Chứng minh tổng MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 theo R.
Lời giải chi tiết
a) Xét \(\Delta \)MAC và \(\Delta \)MDB, ta có \(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}={{90}^{o}},\widehat{ACM}=\widehat{DMB}\left( \frac{1}{2}sđ\overset\frown{AD} \right).\)
Do đó \(\Delta \)MAC \(\backsim \) \(\Delta \)MDB, suy ra \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}\) hay MA.MB = MC.MD.
b) Vì DE là đường kính nên ta có \(CE \bot CD\).
Mà \(AB \bot CD\) nên AB // CE, suy ra ABEC là hình thang.
Ta có \(\widehat {EBA} + \widehat {MBD} = {90^o};\widehat {CAB} + \widehat {ACM} = {90^o};\widehat {ACM} = \widehat {DMB}\), suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}\). Vậy ABEC là hình thang cân.
c) Ta có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) và \(\Delta DBE\)vuông tại B, nên ta có
MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = AC 2 + BD 2 = BE 2 + BD 2 = ED 2 = 4R 2 .
Vậy tổng MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 có giá trị không đổi.