Giải bài 15 trang 89 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE. a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn. b) Vẽ đường tròn (B; BD). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD). c) Đường tròn (B; BD) cắt CE tại K (K nằm giữa E và C). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh (widehat {BMH} = widehat {BKH}).
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn.
b) Vẽ đường tròn (B; BD). Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).
c) Đường tròn (B; BD) cắt CE tại K (K nằm giữa E và C). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt đường thẳng AB tại M. Chứng minh ^BMH=^BKH.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tam giác BEC và tam giác BDC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ đó suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Chứng minh BD ⊥AC tại D suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).
Chứng minh ^BMH=^BKHdựa vào hai tam giác đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a) Ta có tam giác BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (1)
Tam giác BDC vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
b) Ta có BD là bán kính đường tròn (B; BD) và BD ⊥AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).
c) Ta có ΔBHD∽(g.g), suy ra BD 2 = BH.BC.
Ta lại có BD = BK (bán kính đường tròn (B;BD)) nên BK 2 = BH.BC.
Suy ra \Delta BHK\backsim \Delta BKC(c.g.c), do đó \widehat {BKH} = \widehat {BCK}
Mà \widehat {BMH} = \widehat {BCK} (cùng phụ với \widehat {ABC}) nên\widehat {BMH} = \widehat {BKH}.