Giải bài 16 trang 14 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Nếu $\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ với $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ thì giá trị của $\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)$ bằng:

A. $\frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}$

B. $\sqrt 6  - 3$

C. $\frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3$

D. $\sqrt 6  - \frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

Do ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Vì $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Ta có $\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}$

Đáp án đúng là A.