Giải bài 16 trang 89 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc (widehat {BAC}) cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F. a) Chứng minh EH // BC. b) Tính số đo của (widehat {AMB}). c) Chứng minh (widehat {AEK} = widehat {AFK}). d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Đề bài
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E sao cho BE = AC. Tia AC và tia BD cắt nhau tại M. Vẽ EH vuông góc với AC tại H. Tia phân giác của góc ^BAC cắt EH tại K và cắt đường tròn (O) tại D. Tia CK cắt AB tại I và cắt đường tròn (O) tại F.
a) Chứng minh EH // BC.
b) Tính số đo của ^AMB.
c) Chứng minh ^AEK=^AFK.
d) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh BC⊥ACvà EH⊥ACđể suy ra EH // BC.
Tính ^MBA theo ^MBCvà ^CBA.
Dựa theo hai góc đồng vị và hai góc chắn cung AC.
Chứng minh AI = IE suy ra I là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Lời giải chi tiết
a) Ta có ^ACB=90o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra BC⊥AC.
Mà EH⊥AC(gt), suy ra EH // BC.
b) Vì AD là tia phân giác của ^BAC (gt) nên ^CAD=^BAD, suy ra s⌢CD=s⌢BD=45o.
Suy ra ^MAB=45o;
^MBA=^MBC+^CBA=22,5o+45o=67,5o
c) Vì EH // BC nên ^AEK=^ABC (hai góc đồng vị).
Ta có ^AFK=^AFC=^ABC (cùng chắn cung AC).
Suy ra ^AEK=^AFK.
d) Tam giác AIC có AK là tia phân giác ^CAI, suy ra AIAC=KIKC (1).
Tam giác CIB có EK // CB suy ra IEBE=KIKC (2).
Từ (1) và (2) suy ra AIAC=IEBE. Mà AC = BE (gt) nên AI = IE.
Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AE.