Giải bài 18 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có $AB = 2BC$. Gọi I là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD. Chứng minh:

a) AIKD và BIKC là hình vuông.

b) $IK = \frac{{DC}}{2}$ và $\widehat {DIC} = {90^0}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì I là trung điểm của AB nên $AI = IB = \frac{1}{2}AB$

Vì K là trung điểm của CD nên $DK = CK = \frac{1}{2}DC$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB//CD, $AB = CD$, $AD = BC$

Do đó, $IA = IB = DK = CK$

Mà $AB = 2BC$ nên $IA = IB = DK = CK = AD = BC$

Tứ giác AIKD có: $DK = AI$, AI//DK nên AIKD là hình bình hành. Mà $IA = AD$ nên AIKD là hình thoi. Lại có $\widehat A = {90^0}$ nên AIKD là hình vuông.

Tứ giác BIKC có: $IB = KC$, BI//CK nên BIKC là hình bình hành. Mà $IB = BC$ nên BIKC là hình thoi. Lại có $\widehat B = {90^0}$ nên BIKC là hình vuông.

b) Vì AIKD là hình vuông nên $IK = DK = \frac{{DC}}{2}$ và $\widehat {IDC} = \frac{1}{2}\widehat {ADC} = {45^0}$

Vì BIKC là hình vuông nên $\widehat {DCI} = \frac{1}{2}\widehat {DCB} = {45^0}$

Tam giác DIC có: $\widehat {DIC} = {180^0} - \widehat {DCI} - \widehat {CDI} = {90^0}$