Giải bài 18 trang 95 sách bài tập toán 8 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Trên cạnh $AD,BC$ lần lượt lấy điểm $E,F$ sao cho $AE = CF$. Trên cạnh $AB,CD$ lần lượt lấy điểm $M,N$ sao cho $BM,DN$. Chứng minh:

a)     Tứ giác $EMFN$ là hình bình hành;

b)    Bốn đường thẳng $AC,BD,EF,MN$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

a)     Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD = BC$ và $AB = CD$; $\widehat A = \widehat C$ và $\widehat {ABC} = \widehat {CDA}$.

Mà $AE = CF$ và $BM = DN$, suy ra $DE = BF$ và $AM = CN$.

$\Delta AEM = \Delta CFN$(c.g.c). Suy ra $EM = FN$

$\Delta BFM = \Delta DEN$(c.g.c). Suy ra $FM = EN$

Tứ giác $EFMN$ có $EM = FN$ và $FM = EN$ nên $EMFN$ là hình bình hành.

b)    Tứ giác $BMDN$ có $BM = DN$ và $BM//DN$ nên $BMDN$ là hình bình hành.

Do $ABCD,EMFN,BMDN$ đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy $AC,BD,EF,MN$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.