Giải bài 2. 16 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

$C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = {2^{2021}}$

Lời giải chi tiết

${(1 + x)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + C_{2n}^2{x^2} + ... + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}$

Thay $x = 1$ vào hai vế, ta suy ra

$C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = {2^{2n}}$

Thay $x =  - 1$ vào hai vế, ta suy ra

$C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... + C_{2n}^{2n} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = {2^{2n - 1}}\\ \Leftrightarrow 2n - 1 = 2021\\ \Leftrightarrow n = 1011\end{array}$