Giải bài 2. 19 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$, ta có:

${2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (*) ${2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (n + 1){.2^n} = n{.2^{n + 1}}$ bằng PP quy nạp.

Với $n = 1$ ta có ${2.2^1} = {1.2^{1 + 1}}$

Vậy (*) đúng với $n = 1$

Giải sử (*) đúng với $n = k$ tức là ta có ${2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} = k{.2^{k + 1}}$

Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}$

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{2.2^1} + {3.2^2} + {4.2^3} + ... + (k + 1){.2^k} + (k + 2){.2^{k + 1}}\\ = k{.2^{k + 1}} + (k + 2){.2^{k + 1}} = (2k + 2){.2^{k + 1}}\\ = 2(k + 1){.2^{k + 1}} = (k + 1){.2^{k + 2}}\end{array}$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1.$