Giải bài 2. 21 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có ${10^{2n + 1}} + 1$ chia hết cho 11.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 0$ ta có ${10^1} + 1 \vdots 11$

Vậy khẳng định đúng với $n = 0$

Giải sử khẳng định đúng với $n = k$ tức là ta có ${10^{2k + 1}} + 1$ chia hết cho 11

Ta chứng minh (3) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${10^{2k + 3}} + 1$ chia hết cho 11

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{10^{2k + 3}} + 1 = {10^{2k + 1}}.100 + 1 = ({10^{2k + 1}} + 1).100 + 1 - 100\\ = ({10^{2k + 1}} + 1).100 + 99\; \vdots 11\end{array}$

Vì ${10^{2k + 1}} + 1 \vdots 11,\;99 \vdots 11.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n.