Giải bài 2. 22 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$, ta có ${5^n} \ge {3^n} + {4^n}$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 2$ ta có ${5^2} = {3^2} + {4^2}$

Vậy BĐT đúng với $n = 2$

Giải sử BĐT đúng với $n = k$ tức là ta có ${5^k} \ge {3^k} + {4^k}$

Ta chứng minh BĐT đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${5^{k + 1}} \ge {3^{k + 1}} + {4^{k + 1}}$

Thật vậy, ta có

${3^{k + 1}} + {4^{k + 1}} = {3.3^k} + {4.4^k} \le 4.\left( {{3^k} + {4^k}} \right) \le {4.5^k} \le {5.5^k} = {5^{k + 1}}$

Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$.