Giải bài 2. 27 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị

$C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n$

Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển ${(a + b)^n}$ biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.

Lời giải chi tiết

Với $n = 1$ ta có $C_1^0 = C_1^1 = 1.$

Với $n \ge 2$

Gọi $C_n^k(0 < k < n)$ là giá trị lớn nhất.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}C_n^k \ge C_n^{k - 1}\;(1)\\C_n^k \ge C_n^{k + 1}\;(2)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} \ge \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{k} \ge \frac{1}{{n + 1 - k}} \Leftrightarrow n + 1 - k \ge k\\ \Leftrightarrow k \le \frac{{n + 1}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} \ge \frac{{n!}}{{(k + 1)!\left( {n - 1 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{n - k}} \ge \frac{1}{{k + 1}} \Leftrightarrow k + 1 \ge n - k\\ \Leftrightarrow k \ge \frac{{n - 1}}{2}\end{array}$

Kết hợp ta được $\frac{{n - 1}}{2} \le k \le \frac{{n + 1}}{2}$

+ Nếu $n = 2m \Rightarrow \frac{{2m - 1}}{2} \le k \le \frac{{2m + 1}}{2} \Rightarrow k = m$

+ Nếu $n = 2m + 1 \Rightarrow \frac{{2m}}{2} \le k \le \frac{{2m + 2}}{2} \Rightarrow k = m;k = m + 1$

Áp dụng:

Ta có tổng các hệ số của khai triển ${(a + b)^n}$ là

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = {2^n}$

$\Rightarrow {2^n} = 4096 = {2^{12}} \Rightarrow n = 12$

Khi đó hệ số lớn nhất của khai triển ${(a + b)^{12}}$ là $C_{12}^6.$