Giải bài 2. 3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng ${n^3} - n + 3$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n \ge 1$.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (3) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${0^3} - 0 + 3 = 3$ chia hết cho 3.

Vậy (3) đúng với $n = 1$

Giải sử (3) đúng với $n = k$ tức là ta có ${k^3} - k + 3$ chia hết cho 3

Ta chứng minh (3) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${(k + 1)^3} - (k + 1) + 3$ chia hết cho 3

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{(k + 1)^3} - (k + 1) + 3 = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1 + 3\\ = {k^3} + 3{k^2} + 2k + 3 = ({k^3} - k + 3) + 3{k^2} + 3k\\ = ({k^3} - k + 3) + 3({k^2} + k)\end{array}$

Chia hết cho 3 do ${k^3} - k + 3 \vdots 3$

Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 1$.