Giải bài 2. 5 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng nếu $x >  - 1$ thì  ${(1 + x)^n} \ge 1 + nx$ với mọi số tự nhiên n.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (5) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 0$ ta có ${(1 + x)^0} \ge 1 + 0.x$

Vậy (5) đúng với $n = 0$

Giải sử (5) đúng với $n = k$ tức là ta có ${(1 + x)^k} \ge 1 + kx$

Ta chứng minh (5) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x$

Thật vậy, ta có

${(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x$

Do $1 + x > 0,k{x^2} \ge 0$

Vậy (5) đúng với mọi số tự nhiên n.