Giải bài 2. 7 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh ($n \ge 4$) là $\frac{{n(n - 3)}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh số đường chéo của một đa giác n cạnh ($n \ge 4$) là $\frac{{n(n - 3)}}{2}$ (*) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 4$ ta có số đường chéo của một tứ giác là $\frac{{4(4 - 3)}}{2} = 2$

Vậy (*) đúng với $n = 4$

Giải sử (*) đúng với $n = k$ tức là ta có số đường chéo của một đa giác k cạnh là $\frac{{k(k - 3)}}{2}$

Ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh số đường chéo của một đa giác k+1 cạnh là $\frac{{(k + 1)(k - 2)}}{2}$

Thật vậy, xét đa giác ${A_1}{A_2}...{A_{k + 1}}$ ta có:

So với đa giác ${A_1}{A_2}...{A_k}$, thì đa giác ${A_1}{A_2}...{A_{k + 1}}$ có thêm các đường chéo là ${A_1}{A_k}$và ${A_2}{A_{k + 1}},{A_3}{A_{k + 1}},...,{A_{k - 1}}{A_{k + 1}}$ (nhiều hơn k-1 đường chéo)

Do đó số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là:

$\frac{{k(k - 3)}}{2} + k - 1 = \frac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2} = \frac{{{k^2} - k - 2}}{2} = \frac{{(k + 1)(k - 2)}}{2}.$

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 4$.