Giải bài 2. 4 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng ${n^2} - n + 41$ là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Với $n = 1$ ta có ${1^2} - 1 + 41 = 41$ là số lẻ

Với $n \ge 2$ ta có ${n^2} - n + 41 = n(n - 1) + 41$ không chia hết cho 2 (do $n(n - 1)$tích hai số tự nhiên liên tiếp, luôn chia hết cho 2. Còn 41 không chia hết cho 2)

Nói cách khác với $n \ge 2$ thì  ${n^2} - n + 41$ là số lẻ.

Vậy ${n^2} - n + 41$ là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Cách 2:

Ta chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 1$ ta có ${1^2} - 1 + 41 = 41$ là số lẻ.

Vậy (4) đúng với $n = 1$

Giải sử (4) đúng với $n = k$ tức là ta có ${k^2} - k + 41$ là số lẻ.

Ta chứng minh (3) đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${(k + 1)^2} - (k + 1) + 41$ là số lẻ.

Thật vậy, ta có

$\begin{array}{l}{(k + 1)^2} - (k + 1) + 41 = {k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 41\\ = {k^2} + k + 41 = \left( {{k^2} - k + 41} \right) + 2k\end{array}$

Là số lẻ vì ${k^2} - k + 41$ lẻ và $2k$ chẵn.

Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương n.