Giải bài 2 trang 17 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y=x3−8x2−12x+1 trên đoạn [−2;9]; b) y=−2x3+9x2−17 trên nửa khoảng (−∞;4]; c) y=x3−12x+4 trên đoạn [−6;3]; d) y=2x3−x2−28x−3 trên đoạn [−2;1]; e) y=−3x3+4x2−5x−17 trên đoạn [−1;2].
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y=x3−8x2−12x+1 trên đoạn [−2;9];
b) y=−2x3+9x2−17 trên nửa khoảng (−∞;4];
c) y=x3−12x+4 trên đoạn [−6;3];
d) y=2x3−x2−28x−3 trên đoạn [−2;1];
e) y=−3x3+4x2−5x−17 trên đoạn [−1;2].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]:
Bước 1. Tìm các điểm x1,x2,...,xn thuộc khoảng (a;b) mà tại đó f′(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 2. Tính f(a);f(x1);f(x2);...;f(xn);f(b).
Bước 3. Gọi M là số lớn nhất và m là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: M=max.
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Xét hàm số y = f\left( x \right) = {x^3} - 8{x^2} - 12x + 1 trên đoạn \left[ { - 2;9} \right].
Ta có: f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} - 12
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6 hoặc x = - \frac{2}{3}.
f\left( { - 2} \right) = - 15;f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}};f\left( 6 \right) = - 143;f\left( 9 \right) = - 26
Vậy \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{{139}}{{27}},\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 6 \right) = - 143.
b) Xét hàm số y = f\left( x \right) = - 2{x^3} + 9{x^2} - 17 trên nửa khoảng \left( { - \infty ;4} \right].
Ta có: f'\left( x \right) = - 6{{\rm{x}}^2} + 18{\rm{x}}
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 3.
Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \left( { - \infty ;4} \right]:
Từ bảng biến thiên, ta thấy \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 17, hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng \left( { - \infty ;4} \right].
c) Xét hàm số y = f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 4 trên đoạn \left[ { - 6;3} \right].
Ta có: f'\left( x \right) = 3{{\rm{x}}^2} - 12
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2 hoặc x = - 2.
f\left( { - 6} \right) = - 140;f\left( { - 2} \right) = 20;f\left( 2 \right) = - 12;f\left( 3 \right) = - 5
Vậy \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 20,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 6;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 6} \right) = - 140.
d) Xét hàm số y = 2{x^3} - {x^2} - 28x - 3 trên đoạn \left[ { - 2;1} \right].
Ta có: f'\left( x \right) = 6{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} - 28
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3} (loại) hoặc x = - 2.
f\left( { - 2} \right) = 33;f\left( 1 \right) = - 30
Vậy \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 33,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = - 30.
e) Xét hàm số y = f\left( x \right) = - 3{x^3} + 4{x^2} - 5x - 17 trên đoạn \left[ { - 1;2} \right].
Ta có: f'\left( x \right) = - 9{{\rm{x}}^2} + 8{\rm{x}} - 5 = - 9{\left( {x - \frac{4}{9}} \right)^2} - \frac{{29}}{9} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]
f\left( { - 1} \right) = - 5;f\left( 2 \right) = - 35
Vậy \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = - 5,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 35.