Giải bài 2 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {--5;7;6} \right)\) và bán kính \(R = 9\).

b) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; - 3;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4;0; - 2} \right)\).

c) \(\left( S \right)\) có đường kính \(EF\) với \(E\left( {1;5;9} \right),F\left( {11;3;1} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm \(I\left( {--5;7;6} \right)\) và bán kính \(R = 9\) là:

\({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = {9^2}\) hay \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 81\).

b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:

\(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {29} \).

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {\left( {\sqrt {29} } \right)^2}\) hay \({x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 29\).

c) Mặt cầu đường kính \(EF\) có tâm \(I\left( {6;4;5} \right)\) là trung điểm của \(EF\).

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

\(R = IE = \sqrt {{{\left( {6 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2}}  = \sqrt {42} \).

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

\({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {42} } \right)^2}\) hay \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 42\).