Giải bài 2 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {--5;7;6} \right)$ và bán kính $R = 9$.

b) $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0; - 3;0} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {4;0; - 2} \right)$.

c) $\left( S \right)$ có đường kính $EF$ với $E\left( {1;5;9} \right),F\left( {11;3;1} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình của mặt cầu tâm $I\left( {--5;7;6} \right)$ và bán kính $R = 9$ là:

${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = {9^2}$ hay ${\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 81$.

b) Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt {29}$.

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {\left( {\sqrt {29} } \right)^2}$ hay ${x^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 29$.

c) Mặt cầu đường kính $EF$ có tâm $I\left( {6;4;5} \right)$ là trung điểm của $EF$.

Bán kính của mặt cầu đó bằng:

$R = IE = \sqrt {{{\left( {6 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9} \right)}^2}}  = \sqrt {42}$.

Vậy phương trình mặt cầu đó là:

${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = {\left( {\sqrt {42} } \right)^2}$ hay ${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 42$.