Giải bài 21 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC, sao cho $\widehat {CAB} = 30^\circ$. Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh

a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) $MC = R\sqrt 3$.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác OAC có $OA = OC\left( { = R} \right)$ nên tam giác OAC cân tại O, do đó $\widehat A = \widehat {ACO} = 30^\circ$.

Xét tam giác ABC có $OA = OB = OC = \frac{{AB}}{2}\left( { = R} \right)$ nên tam giác ABC vuông tại C, nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$.

Ta có $\widehat {ACO} + \widehat {OCB} = \widehat {ACB} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {OCB} = 90^\circ  - \widehat {ACO} = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$.

Xét tam giác OCB có $OB = OC\left( { = R} \right)$ và $\widehat {OCB} = 60^\circ$ nên tam giác OCB đều,

do đó $OC = OB = CB.$

Vậy $OC = OB = CB = BM.$

Xét tam giác OCM có $MB = OB = CB = \frac{{OM}}{2}$ nên tam giác OCM vuông tại C,

hay $CM \bot OC$.

Do đó MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Do tam giác OCM vuông tại C và $\widehat {COB} = 60^\circ$ nên  $\widehat M = 30^\circ$

Ta có $\tan M = \frac{{OC}}{{MC}}$ hay $MC = \frac{{OC}}{{\tan M}} = \frac{R}{{\tan 30^\circ }} = R\sqrt 3$.