Giải bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho phép tịnh tiến T→u trong đó →u=(3;5)
Đề bài
Cho phép tịnh tiến T→u trong đó →u=(3;5)
a) Tìm ảnh của các điểm A(−3;4),B(2;−7) qua T→u
b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua T→u . Tìm tọa độ của điểm M.
c) Tìm ảnh của đường thẳng d:4x−3y+7=0 qua T→u .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho vectơ →u, phép tịnh tiến theo vectơ →u là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho →MM′=→u.
Nếu M′(x′;y′) là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến T→u , →u=(a;b) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là {x′=x+ay′=y+b
Lời giải chi tiết
a) Đặt A′(x′;y′)=T→u(A).
Suy ra →AA′=→u mà →AA′=(x′+3;y′−4)
Do đó {x′+3=3y′−4=5
Vì vậy {x′=0y′=9
Suy ra tọa độ A’(0; 9).
Đặt B′(x″.
Suy ra \overrightarrow {BB'} = {\rm{\vec u}} mà \overrightarrow {BB'} = \left( {x'' - 2\;;\;{\rm{y''}} + 7} \right)
Do đó \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x''}} - 2 = 3}\\{{\rm{y''}} + 7 = 5}\end{array}} \right.
Vì vậy \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x''}} = 5}\\{{\rm{y''}} = - 2}\end{array}} \right.
Suy ra tọa độ B’(5; –2).
Vậy ảnh của các điểm A, B qua {T_{\vec u}} lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).
b) Gọi M({x_M};{\rm{ }}{y_M}).
Theo đề, ta có M' = {T_{\vec u}}\left( M \right).
Suy ra \overrightarrow {MM'} = {\rm{\vec u}}, mà \overrightarrow {MM'} = \left( {2 - {{\rm{x}}_{\rm{M}}}\;;\;6 - {{\rm{y}}_{\rm{M}}}} \right)
Do đó \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - {{\rm{x}}_{\rm{M}}} = 3}\\{6 - {{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 5}\end{array}} \right.
Vì vậy \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{\rm{M}}} = - 1}\\{{{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 1}\end{array}} \right.
Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Chọn điểm N\left( {-1;{\rm{ }}1} \right) \in d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0.
Gọi N'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right) lần lượt là ảnh của N qua {T_{\vec u}}
Ta có {T_{\vec u}}\left( N \right) = N', suy ra \overrightarrow {N{N'}} = \vec u với \overrightarrow {NN'} = \left( {x' + 1;y' - 1} \right)
Do đó \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} + 1 = 3}\\{{\rm{y'}} - 1 = 5}\end{array}} \right.
Vì vậy \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} = 2}\\{{\rm{y'}} = 6}\end{array}} \right.
Suy ra tọa độ N’(2; 6).
Đường thẳng d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến {\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right).
Gọi d’ là ảnh của d qua {T_{\vec u}} do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận {\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có d’ là đường thẳng đi qua M'\left( {2;{\rm{ }}6} \right) và có vectơ pháp tuyến {\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right) nên có phương trình là:
4\left( {x-2} \right)-3\left( {y-6} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x-3y + 10 = 0.
Vậy ảnh của đường thẳng d:4x-3y + 7 = 0 qua {T_{\vec u}} là đường thẳng d':4x-3y + 10 = 0.