Giải bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho phép tịnh tiến T→u trong đó →u=(3;5)
Đề bài
Cho phép tịnh tiến T→u trong đó →u=(3;5)
a) Tìm ảnh của các điểm A(−3;4),B(2;−7) qua T→u
b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua T→u . Tìm tọa độ của điểm M.
c) Tìm ảnh của đường thẳng d:4x−3y+7=0 qua T→u .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho vectơ →u, phép tịnh tiến theo vectơ →u là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho →MM′=→u.
Nếu M′(x′;y′) là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến T→u , →u=(a;b) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là {x′=x+ay′=y+b
Lời giải chi tiết
a) Đặt A′(x′;y′)=T→u(A).
Suy ra →AA′=→u mà →AA′=(x′+3;y′−4)
Do đó {x′+3=3y′−4=5
Vì vậy {x′=0y′=9
Suy ra tọa độ A’(0; 9).
Đặt B′(x″;y″)=T→u(B).
Suy ra →BB′=→u mà →BB′=(x″−2;y″+7)
Do đó {x″−2=3y″+7=5
Vì vậy {x″=5y″=−2
Suy ra tọa độ B’(5; –2).
Vậy ảnh của các điểm A, B qua T→u lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).
b) Gọi M(xM;yM).
Theo đề, ta có M′=T→u(M).
Suy ra →MM′=→u, mà →MM′=(2−xM;6−yM)
Do đó {2−xM=36−yM=5
Vì vậy {xM=−1yM=1
Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Chọn điểm N(−1;1)∈d:4x−3y+7=0.
Gọi N′(x′;y′) lần lượt là ảnh của N qua T→u
Ta có T→u(N)=N′, suy ra →NN′=→u với →NN′=(x′+1;y′−1)
Do đó {x′+1=3y′−1=5
Vì vậy {x′=2y′=6
Suy ra tọa độ N’(2; 6).
Đường thẳng d:4x−3y+7=0 có vectơ pháp tuyến →nd=(4;−3).
Gọi d’ là ảnh của d qua T→u do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận →nd=(4;−3) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có d’ là đường thẳng đi qua M′(2;6) và có vectơ pháp tuyến →nd=(4;−3) nên có phương trình là:
4(x−2)−3(y−6)=0⇔4x−3y+10=0.
Vậy ảnh của đường thẳng d:4x−3y+7=0 qua T→u là đường thẳng d′:4x−3y+10=0.