Giải bài 3 trang 35 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
(C):x2+y2+4x−2y−4=0.
Viết phương trình ảnh của (C)
a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2;
b) qua phép vị tự tâm I(1;1), tỉ số k=−2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu V(I,k)[M(x,y)]=M′(x′,y′). Khi đó, {x′−a=k(x−a)y′−b=k(y−b) với I(a;b)
Phép vị tự tỉ số k biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|, biến đường tròn bán kính r thành đường tròn bán kính r′=|k|.r.
Lời giải chi tiết
Đường tròn (C):x2+y2+4x−2y−4=0 có tâm A(–2; 1) và bán kính R=√(−2)2+12−(−4)=3
a) Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua V(O,2)
Khi đó (C’) có tâm ảnh của A qua V(O,2) và bán kính
Gọi A′(x′;y′) là ảnh của A qua V(O,2).
Suy ra →OA′=2→OA với →OA=(−2;1) và →OA′=(x′;y′)
Do đó {x′=2.(−2)=−4y′=2.1=2
Vì vậy A′(−4;2).
Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (x+4)2+(y−2)2=36.
b) Gọi đường tròn (C’’) là ảnh của đường tròn (C) qua V(I,−2).
Khi đó (C‴ có tâm ảnh của A qua {V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}} và bán kính R'' = {\rm{ }}\left| {-2} \right|.R{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3{\rm{ }} = {\rm{ }}6.
Gọi A''\left( {x'';{\rm{ }}y''} \right) là ảnh của A qua {V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}.
Suy ra \overrightarrow {IA'} = - 2\overrightarrow {IA} với \overrightarrow {I{A'}} = \left( {{{x'}'} - 1;{{y'}'} - 1} \right) và \overrightarrow {IA} = \left( { - 3;0} \right)
Do đó \left\{ \begin{array}{l}x'' - 1 = \left( { - 2} \right).( - 3)\\y' - 1 = \left( { - 2} \right).0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = 7\\y' = 1\end{array} \right.
Suy ra tọa độ A''\left( {7;{\rm{ }}1} \right).
Vậy phương trình đường tròn (C”) là: {\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}36.