Giải bài 3 trang 80 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m + 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1; - 3;2} \right)\). Tìm giá trị nguyên của \(m\) để \(\left| {\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow {\rm{a}} - \overrightarrow b } \right)} \right| = 4\).
Đề bài
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m + 1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {1; - 3;2} \right)\). Tìm giá trị nguyên của \(m\) để \(\left| {\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow {\rm{a}} - \overrightarrow b } \right)} \right| = 4\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép trừ vectơ:
Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) thì \(\overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {{x_1} - {x_2};{y_1} - {y_2};{z_1} - {z_2}} \right)\).
‒ Sử dụng biểu thức toạ độ của phép nhân một số với một vectơ:
Nếu \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) thì \(m\overrightarrow u = \left( {m{x_1};m{y_1};m{z_1}} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\).
‒ Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\):
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {\rm{a}} - \overrightarrow b = \left( {2.2 - 1;2\left( {m + 1} \right) - \left( { - 3} \right);2.\left( { - 1} \right) - 2} \right) = \left( {3;2m + 5; - 4} \right)\\\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow {\rm{a}} - \overrightarrow b } \right) = 1.3 + \left( { - 3} \right).\left( {2m + 5} \right) + 2.\left( { - 4} \right) = - 6m - 20\\\left| {\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow {\rm{a}} - \overrightarrow b } \right)} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| { - 6m - 20} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6m - 20 = 4\\ - 6m - 20 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = - \frac{8}{3} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy với \(m = - 4\) thì \(\left| {\overrightarrow b \left( {2\overrightarrow {\rm{a}} - \overrightarrow b } \right)} \right| = 4\).