Giải bài 3 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện $OABC$ có $G\left( {3; - 3;6} \right)$ là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm $A$ thoả mãn $\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;4; - 2} \right)$.

Lời giải chi tiết

Giả sử $A\left( {a;b;c} \right)$.

$G$ là trọng tâm của tứ diện $OABC$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {G{\rm{O}}}  = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {G{\rm{O}}}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {G{\rm{O}}}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  =  - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GO} } \right)\end{array}$

Ta có $G\left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OG}  = \left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GO}  = \left( { - 3;3; - 6} \right)$

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GO}  = \left( {1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right);2 + 4 + 3;3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right)} \right) = \left( { - 3;9; - 5} \right)$

Do đó $3\overrightarrow {GA}  = \left( {3; - 9;5} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  = \left( {1; - 3;\frac{5}{3}} \right)$.

Mặt khác $\overrightarrow {GA}  = \left( {a - 3;b + 3;c - 6} \right)$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b + 3 =  - 3\\c - 6 = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b =  - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.$

Vậy $A\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)$.