Giải bài 37 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $B'C'$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left( {A'MN} \right)\parallel \left( {ACC'} \right)$

B. $\left( {A'BN} \right)\parallel \left( {AC'M} \right)$

C. $C'M\parallel \left( {A'B'B} \right)$

D. $BN\parallel \left( {ACC'A'} \right)$

Lời giải chi tiết

Ta nhận xét rằng $A' \in \left( {A'MN} \right)$ và $A' \in \left( {ACC'A'} \right)$, nên hai mặt phẳng $\left( {A'MN} \right)$  và $\left( {ACC'} \right)$ có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.

Xét hai mặt phẳng $\left( {A'BN} \right)$ và $\left( {AC'M} \right)$. Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$, nên ta có $BM = C'N = \frac{1}{2}BC$. Hơn nữa, do $BC\parallel B'C'$ nên tứ giác $BMC'N$ là hình bình hành. Suy ra $BN\parallel C'M$, mà do $C'M \subset \left( {AC'M} \right)$ nên $BN\parallel \left( {AC'M} \right)$.

Mặt khác, vì $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ nên $MN\parallel BB'$ và $MN = BB'$. Do $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ tam giác, nên $BB'\parallel AA'$ và $BB' = AA'$. Từ đó ta có $MN = AA'$ và $MN\parallel AA'$. Điều này có nghĩa tứ giác $A'NMA$ là hình bình hành. Suy ra $A'N\parallel AM$. Do $AM \subset \left( {AC'M} \right)$ nên $A'N\parallel \left( {AC'M} \right)$. Vậy $\left( {A'BN} \right)\parallel \left( {AC'M} \right)$.

Xét mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$, ta thấy rằng $BB'$ và $CM$ cắt nhau, mà do $BB' \subset \left( {A'B'B} \right)$ nên $CM$ và $\left( {A'B'B} \right)$ có điểm chung, tức là chúng không song song với nhau.

Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra $BN$ và $\left( {ACC'A'} \right)$ không song song với nhau.

Đáp án đúng là B.