Giải bài 37 trang 55 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ba số $\frac{2}{{b - a}}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{2}{{b - c}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số $a$, $b$, $c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Ta có $\frac{2}{{b - a}}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{2}{{b - c}}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

$\Rightarrow \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b} = \frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} \Rightarrow \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{b} \Rightarrow \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{b - a}} = \frac{1}{b}$

$\Rightarrow \frac{{b - a + b - c}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{{2b - a - c}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{b} \Rightarrow b\left( {2b - a - c} \right) = \left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)$

$2{b^2} - ab - bc = {b^2} + ac - ab - bc \Rightarrow {b^2} = ac \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}$

Vậy ba số $a$, $b$, $c$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Bài toán được chứng minh.