Giải bài 38 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho biểu thức $M = \frac{1}{{2\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}$ với $x > 0$.

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tính giá trị biểu thức M tại $x = \frac{4}{9}.$

c) Tìm giá trị của x để $\left| M \right| = \frac{1}{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Với $x > 0$, ta có:

$\begin{array}{l}M = \frac{1}{{2\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{1 - x}}\\ = \frac{1}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} - \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  + 1 - \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{2 - 2\sqrt x }}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ = \frac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}\\ =  - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\end{array}$

Vậy $M =  - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}$.

b) Thay $x = \frac{4}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào M, ta được:

$M =  - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} =  - \frac{1}{{1 + \sqrt {\frac{4}{9}} }} =  - \frac{1}{{1 + \frac{2}{3}}} = \frac{{ - 3}}{5}$

Vậy $M = \frac{{ - 3}}{5}$ với $x = \frac{4}{9}$.

a)   Để $\left| M \right| = \frac{1}{3}$ thì $\left| { - \frac{1}{{1 + \sqrt x }}} \right| = \frac{1}{3}$

Ta xét 2 trường hợp sau:

TH1: $- \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}$

$\begin{array}{l} - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\\1 + \sqrt x  =  - 3\end{array}$

$\sqrt x  =  - 4$ (vô lý)

TH2:

$\begin{array}{l} - \frac{1}{{1 + \sqrt x }} =  - \frac{1}{3}\\\frac{1}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{3}\\1 + \sqrt x  = 3\\\sqrt x  = 2\\x = 4(TMĐK)\end{array}$

Vậy $x = 4$ là giá trị cần tìm.