Giải bài 39 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho biểu thức $N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$.

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Lời giải chi tiết

a) $N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}$

$= \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$

Vậy $N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}$  với $x > 0$.

b) $N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$

Với 2 số a,b không âm, ta có: ${\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ hay $a + b - 2\sqrt {ab}  \ge 0$, do đó $a + b \ge 2\sqrt {ab}$.

Áp dụng kết quả trên với 2 số không âm $\sqrt x$ và $\frac{1}{{\sqrt x }}$, ta có: $\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}}$

hay $\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2$, do đó $\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3$, suy ra $N \ge 3$

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x  = \frac{1}{{\sqrt x }}$, do đó $x = 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 3 khi $x = 1$.