Giải bài 39 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1 — Không quảng cáo

SBT Toán 9 - Giải SBT Toán 9 - Cánh diều Bài 4. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu t


Giải bài 39 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Đề bài

Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức trong ngoặc.

b) Bước 1: Tách \(N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}\)

Bước 2: Dùng kết quả của bất đẳng thức \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) để tìm giá trị nhỏ nhất của N (áp dụng với \(a = \sqrt x ;b = \frac{1}{{\sqrt x }}\)).

Lời giải chi tiết

a) \(N = \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}}} \right).\frac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x }} \)

\(= \frac{{\sqrt x  + 1 + \sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\)  với \(x > 0\).

b) \(N = \frac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\)

Với 2 số a,b không âm, ta có: \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) hay \(a + b - 2\sqrt {ab}  \ge 0\), do đó \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Áp dụng kết quả trên với 2 số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{1}{{\sqrt x }}\), ta có: \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{1}{{\sqrt x }}} \)

hay \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\), do đó \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3\), suy ra \(N \ge 3\)

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x  = \frac{1}{{\sqrt x }}\), do đó \(x = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 3 khi \(x = 1\).


Cùng chủ đề:

Giải bài 38 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 38 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 38 trang 120 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 38 trang 136 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 39 trang 39 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 39 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 39 trang 73 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 39 trang 121 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giải bài 39 trang 137 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 40 trang 40 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Giải bài 40 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1